2. Determina el dominio y el rango de las siguientes funciones con algunas restricciones. a) \( f(x)=\frac{x}{x+6} \) b) \( g(x)=\frac{3 x-2}{x-1} \) c) \( f(x)=\frac{x}{x+12} \) d) \( g(x)=\frac{2 x+3}{x-4} \)

Para determinar el dominio y el rango de las funciones dadas, primero identificaremos las restricciones que pueden afectar a cada función. ### a) \( f(x) = \frac{x}{x+6} \) **Dominio:** La función está definida para todos los valores de \( x \) excepto donde el denominador es cero. \[ x + 6 = 0 \implies x = -6 \] Por lo tanto, el dominio es: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-6\} = (-\infty, -6) \cup (-6, \infty) \] **Rango:** Para encontrar el rango, observamos que la función se aproxima a 1 cuando \( x \) tiende a infinito o menos infinito, pero nunca alcanza 1. Además, la función puede tomar todos los valores reales excepto 1. Por lo tanto, el rango es: \[ R_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} = (-\infty, 1) \cup (1, \infty) \] ### b) \( g(x) = \frac{3x - 2}{x - 1} \) **Dominio:** El denominador no puede ser cero: \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \] Por lo tanto, el dominio es: \[ D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\} = (-\infty, 1) \cup (1, \infty) \] **Rango:** La función se aproxima a 3 cuando \( x \) tiende a infinito o menos infinito, pero nunca alcanza 3. Además, puede tomar todos los valores reales excepto 3. Por lo tanto, el rango es: \[ R_g = \mathbb{R} \setminus \{3\} = (-\infty, 3) \cup (3, \infty) \] ### c) \( f(x) = \frac{x}{x+12} \) **Dominio:** El denominador no puede ser cero: \[ x + 12 = 0 \implies x = -12 \] Por lo tanto, el dominio es: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-12\} = (-\infty, -12) \cup (-12, \infty) \] **Rango:** La función se aproxima a 1 cuando \( x \) tiende a infinito o menos infinito, pero nunca alcanza 1. Por lo tanto, el rango es: \[ R_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} = (-\infty, 1) \cup (1, \infty) \] ### d) \( g(x) = \frac{2x + 3}{x - 4} \) **Dominio:** El denominador no puede ser cero: \[ x - 4 = 0 \implies x = 4 \] Por lo tanto, el dominio es: \[ D_g = \mathbb{R} \setminus \{4\} = (-\infty, 4) \cup (4, \infty) \] **Rango:** La función se aproxima a 2 cuando \( x \) tiende a infinito o menos infinito, pero nunca alcanza 2. Por lo tanto, el rango es: \[ R_g = \mathbb{R} \setminus \{2\} = (-\infty, 2) \cup (2, \infty) \] ### Resumen - **a)** \( f(x) = \frac{x}{x+6} \) - Dominio: \( (-\infty, -6) \cup (-6, \infty) \) - Rango: \( (-\infty, 1) \cup (1, \infty) \) - **b)** \( g(x) = \frac{3x - 2}{x - 1} \) - Dominio: \( (-\infty, 1) \cup (1, \infty) \) - Rango: \( (-\infty, 3) \cup (3, \infty) \) - **c)** \( f(x) = \frac{x}{x+12} \) - Dominio: \( (-\infty, -12) \cup (-12, \infty) \) - Rango: \( (-\infty, 1) \cup (1, \infty) \) - **d)** \( g(x) = \frac{2x + 3}{x - 4} \) - Dominio: \( (-\infty, 4) \cup (4, \infty) \) - Rango: \( (-\infty, 2) \cup (2, \infty) \)