3. Determinar si A es invartiblo empleando el mglodo del delerminanto y en caso de ser posible calcule \[ A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & -2 & 1 \\ 4 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & -10 & 3 \\ -3 & 0 & 5 & -6\end{array}\right] \]

Para determinar si la matriz \( A \) es invertible, podemos calcular su determinante. Si el determinante es diferente de cero, entonces la matriz es invertible. La matriz \( A \) dada es: \[ A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & -2 & 1 \\ 4 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & -10 & 3 \\ -3 & 0 & 5 & -6\end{array}\right] \] Para calcular el determinante de la matriz \( A \), primero debemos calcular el determinante de la matriz \( A \) utilizando el método de cofactores y cofactores adjuntos. El determinante de una matriz \( 4 \times 4 \) se calcula de la siguiente manera: \[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} + a_{14}C_{14} \] Donde \( a_{ij} \) son los elementos de la matriz \( A \) y \( C_{ij} \) son los cofactores de los elementos de la matriz \( A \). Calcularemos los cofactores de la matriz \( A \) y luego el determinante. Matrices by following steps: - step0: Evaluate the determinant: \(\left[\begin{array}{rrrr}{1}&{0}&{-2}&{1}\\{4}&{-2}&{1}&{-2}\\{1}&{0}&{-10}&{3}\\{-3}&{0}&{5}&{-6}\end{array}\right]\) - step1: Use the appropriate notation: \(\left|\begin{array}{cc}{1}&{0}&{-2}&{1}\\{4}&{-2}&{1}&{-2}\\{1}&{0}&{-10}&{3}\\{-3}&{0}&{5}&{-6}\end{array}\right|\) - step2: Use cofactor expansion along a column: \(-0\times \left|\begin{array}{cc}{4}&{1}&{-2}\\{1}&{-10}&{3}\\{-3}&{5}&{-6}\end{array}\right|-2\times \left|\begin{array}{cc}{1}&{-2}&{1}\\{1}&{-10}&{3}\\{-3}&{5}&{-6}\end{array}\right|-0\times \left|\begin{array}{cc}{1}&{-2}&{1}\\{4}&{1}&{-2}\\{-3}&{5}&{-6}\end{array}\right|+0\times \left|\begin{array}{cc}{1}&{-2}&{1}\\{4}&{1}&{-2}\\{1}&{-10}&{3}\end{array}\right|\) - step3: Multiply: \(-0-2\times 26-0+0\) - step4: Evaluate: \(-0-52-0+0\) - step5: Rewrite the expression: \(0-52+0+0\) - step6: Remove 0: \(-52\) El determinante de la matriz \( A \) es -52. Como el determinante es diferente de cero, la matriz \( A \) es invertible. Por lo tanto, la matriz \( A \) es invertible.