1. Tenenos las longitudes \( k=12, c=10 \) y el gingula \( A=75 \) en un tríngulo.

Para resolver un triángulo dado con las longitudes de dos lados \( k = 12 \) y \( c = 10 \), y el ángulo \( A = 75^\circ \) entre ellos, podemos utilizar la Ley de los Cosenos para encontrar el tercer lado \( a \) del triángulo. La Ley de los Cosenos establece que: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A) \] En este caso, \( b = k = 12 \), \( c = 10 \), y \( A = 75^\circ \). Sustituyendo estos valores en la fórmula: \[ a^2 = 12^2 + 10^2 - 2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \cos(75^\circ) \] Calculamos cada término: 1. \( 12^2 = 144 \) 2. \( 10^2 = 100 \) 3. \( 2 \cdot 12 \cdot 10 = 240 \) 4. \( \cos(75^\circ) \approx 0.2588 \) (puedes usar una calculadora para obtener este valor) Ahora, sustituimos estos valores en la ecuación: \[ a^2 = 144 + 100 - 240 \cdot 0.2588 \] \[ a^2 = 244 - 62.112 \] \[ a^2 \approx 181.888 \] \[ a \approx \sqrt{181.888} \approx 13.49 \] Por lo tanto, el tercer lado \( a \) del triángulo es aproximadamente \( 13.49 \). Si necesitas más información, como los ángulos restantes del triángulo, podemos usar la Ley de los Senos. ¿Te gustaría continuar con eso?