EXERCICE 8 Des élèves de terminale étudient le refroidissement d'un objet porté à une température \( \mathrm{X}^{\circ} \mathrm{C} \). L'étude du phénomène thermique conduit à la fonction \( f(t)=\frac{200}{t}+25 \). Oüf \( (t) \) designelatemperaturedel'objet ende gréCelsius ( \( \left.{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) \) à l'instantt Cest é élèves effectuent un contrôle de la température de l'objet après chaque minute ; le premier contrôle ayant lieu à l'instant \( t=5 \). Pourtant ils n'arrivent pas à déterminer la température de l'objet après une très longue période de refroidissement. 1- En utilisant tes connaissances mathématiques, détermine cette température. 2- Trouve la température \( \mathrm{T}_{6} \) de l'objet au 6eme contrôle.

Pour résoudre cet exercice, nous allons examiner la fonction de température donnée et répondre aux deux questions posées. ### 1. Détermination de la température à long terme La fonction de température est donnée par : \[ f(t) = \frac{200}{t} + 25 \] Pour déterminer la température de l'objet après une très longue période de refroidissement, nous devons examiner la limite de \( f(t) \) lorsque \( t \) tend vers l'infini : \[ \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{t \to \infty} \left( \frac{200}{t} + 25 \right) \] Lorsque \( t \) tend vers l'infini, le terme \( \frac{200}{t} \) tend vers 0. Ainsi, nous avons : \[ \lim_{t \to \infty} f(t) = 0 + 25 = 25 \] Donc, la température de l'objet après une très longue période de refroidissement est de **25°C**. ### 2. Calcul de la température \( T_6 \) au 6ème contrôle Les élèves effectuent un contrôle de la température de l'objet après chaque minute, en commençant à \( t = 5 \). Cela signifie que les contrôles se font aux instants \( t = 5, 6, 7, 8, 9, 10 \). Pour trouver la température au 6ème contrôle, nous devons évaluer \( f(t) \) à \( t = 10 \) : \[ T_6 = f(10) = \frac{200}{10} + 25 \] Calculons cela : \[ T_6 = 20 + 25 = 45 \] Ainsi, la température de l'objet au 6ème contrôle est de **45°C**. ### Résumé des réponses 1. La température à long terme est **25°C**. 2. La température \( T_6 \) au 6ème contrôle est **45°C**.