2. \( \int e^{2 x} \operatorname{sen}(2 x) d x \)

Para resolver la integral \( \int e^{2x} \sin(2x) \, dx \), podemos utilizar el método de integración por partes o la técnica de integración de funciones exponenciales y trigonométricas. En este caso, utilizaremos la integración por partes. Recordemos que la fórmula de integración por partes es: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Elegimos: - \( u = \sin(2x) \) \(\Rightarrow du = 2 \cos(2x) \, dx\) - \( dv = e^{2x} \, dx \) \(\Rightarrow v = \frac{1}{2} e^{2x}\) Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes: \[ \int e^{2x} \sin(2x) \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin(2x) - \int \frac{1}{2} e^{2x} (2 \cos(2x)) \, dx \] Simplificamos: \[ = \frac{1}{2} e^{2x} \sin(2x) - \int e^{2x} \cos(2x) \, dx \] Ahora necesitamos resolver la integral \( \int e^{2x} \cos(2x) \, dx \). Usamos nuevamente integración por partes, eligiendo: - \( u = \cos(2x) \) \(\Rightarrow du = -2 \sin(2x) \, dx\) - \( dv = e^{2x} \, dx \) \(\Rightarrow v = \frac{1}{2} e^{2x}\) Aplicamos la fórmula de integración por partes nuevamente: \[ \int e^{2x} \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos(2x) - \int \frac{1}{2} e^{2x} (-2 \sin(2x)) \, dx \] Simplificamos: \[ = \frac{1}{2} e^{2x} \cos(2x) + \int e^{2x} \sin(2x) \, dx \] Ahora tenemos una relación entre \( I = \int e^{2x} \sin(2x) \, dx \) y \( J = \int e^{2x} \cos(2x) \, dx \): \[ I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin(2x) - J \] \[ J = \frac{1}{2} e^{2x} \cos(2x) + I \] Sustituyendo \( J \) en la ecuación de \( I \): \[ I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin(2x) - \left( \frac{1}{2} e^{2x} \cos(2x) + I \right) \] Reorganizando: \[ I + I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin(2x) - \frac{1}{2} e^{2x} \cos(2x) \] \[ 2I = \frac{1}{2} e^{2x} (\sin(2x) - \cos(2x)) \] Dividiendo ambos lados por 2: \[ I = \frac{1}{4} e^{2x} (\sin(2x) - \cos(2x)) \] Finalmente, no olvidemos agregar la constante de integración \( C \): \[ \int e^{2x} \sin(2x) \, dx = \frac{1}{4} e^{2x} (\sin(2x) - \cos(2x)) + C \]