Carlos y Carolina están ahorrando dinero para unas vacaciones. Carlos inicialmente tiene \( \$ 25000 \) y ahorra \( \$ 7500 \) por semana. Carolina inicialmente tiene \( \$ 10000 \) y ahorra \( \$ 10000 \) por semana. Si " \( y \) " representa la cantidad de dinero ahorrado y " \( x \) " representa la cantidad de semanas 1) plantee una ecuación lineal que represente el dinero ahorrado por Carlos y otra ecuación lineal que represente el dinero ahorrado por Carolina, 2) determine cuántas semanas deben transcurrir para que Carlos y Carolina tengan ahorrada la misma cantidad de dinero (para ello debe igualar las dos ecuaciones del literal anterior) y 3) determine cuánto dinero recoge cada uno.

Para resolver el problema, sigamos los pasos solicitados: ### 1) Plantear las ecuaciones lineales **Para Carlos:** - Carlos tiene inicialmente \( \$ 25000 \). - Ahorra \( \$ 7500 \) por semana. La ecuación que representa el dinero ahorrado por Carlos después de \( x \) semanas es: \[ y_C = 25000 + 7500x \] **Para Carolina:** - Carolina tiene inicialmente \( \$ 10000 \). - Ahorra \( \$ 10000 \) por semana. La ecuación que representa el dinero ahorrado por Carolina después de \( x \) semanas es: \[ y_{Car} = 10000 + 10000x \] ### 2) Igualar las dos ecuaciones Para encontrar cuántas semanas deben transcurrir para que Carlos y Carolina tengan ahorrada la misma cantidad de dinero, igualamos las dos ecuaciones: \[ 25000 + 7500x = 10000 + 10000x \] Ahora, resolvemos la ecuación: 1. Restamos \( 10000 \) de ambos lados: \[ 15000 + 7500x = 10000x \] 2. Restamos \( 7500x \) de ambos lados: \[ 15000 = 10000x - 7500x \] \[ 15000 = 2500x \] 3. Dividimos ambos lados entre \( 2500 \): \[ x = \frac{15000}{2500} = 6 \] Por lo tanto, deben transcurrir **6 semanas** para que Carlos y Carolina tengan ahorrada la misma cantidad de dinero. ### 3) Determinar cuánto dinero recoge cada uno Ahora, sustituimos \( x = 6 \) en las ecuaciones para encontrar cuánto dinero tiene cada uno después de 6 semanas. **Dinero ahorrado por Carlos:** \[ y_C = 25000 + 7500(6) = 25000 + 45000 = 70000 \] **Dinero ahorrado por Carolina:** \[ y_{Car} = 10000 + 10000(6) = 10000 + 60000 = 70000 \] ### Resumen de resultados: 1. Las ecuaciones son: - Carlos: \( y_C = 25000 + 7500x \) - Carolina: \( y_{Car} = 10000 + 10000x \) 2. Se necesitan **6 semanas** para que ambos tengan la misma cantidad de dinero. 3. Después de 6 semanas, ambos tendrán **\$ 70000**.