caluwar la siguiente E-D \( \left(x+x^{2}\right) d y-2 x y d x=0 \)

Para resolver la ecuación diferencial \( \left(x+x^{2}\right) dy - 2xy dx = 0 \), primero podemos reorganizarla en una forma más estándar. Dividimos ambos lados por \( (x + x^2) \): \[ dy - \frac{2xy}{x + x^2} dx = 0 \] Esto se puede reescribir como: \[ dy = \frac{2xy}{x + x^2} dx \] Ahora, podemos separar las variables. Reorganizamos la ecuación para que todos los términos de \( y \) estén de un lado y todos los términos de \( x \) estén del otro lado: \[ \frac{dy}{y} = \frac{2x}{x + x^2} dx \] Simplificamos el lado derecho: \[ \frac{2x}{x + x^2} = \frac{2x}{x(1 + x)} = \frac{2}{1 + x} \] Por lo tanto, la ecuación se convierte en: \[ \frac{dy}{y} = \frac{2}{1 + x} dx \] Ahora integramos ambos lados: \[ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{2}{1 + x} dx \] La integral del lado izquierdo es: \[ \ln |y| + C_1 \] Y la integral del lado derecho es: \[ 2 \ln |1 + x| + C_2 \] Igualando las integrales, tenemos: \[ \ln |y| = 2 \ln |1 + x| + C \] Donde \( C = C_2 - C_1 \) es una constante de integración. Exponenciamos ambos lados para deshacernos del logaritmo: \[ |y| = e^C |1 + x|^2 \] Podemos escribir \( e^C \) como una nueva constante \( K \): \[ y = K(1 + x)^2 \] Donde \( K \) puede ser positivo o negativo, dependiendo del signo de \( y \). Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es: \[ y = K(1 + x)^2 \] donde \( K \) es una constante arbitraria.