A centro de los dos círculos. \( \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{3} \) Si el radio del circulo mayor es 12 cm , determine el area sombreada.

Para resolver el problema, primero necesitamos entender la relación entre los dos círculos y cómo se relacionan las longitudes de los segmentos \( \mathrm{AB} \) y \( \mathrm{AC} \). Dado que \( \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} = \frac{1}{3} \), podemos expresar \( \mathrm{AB} \) y \( \mathrm{AC} \) en términos de una variable. Supongamos que \( \mathrm{AC} = 3x \) y \( \mathrm{AB} = x \). Ahora, el radio del círculo mayor es 12 cm. Si \( \mathrm{AC} \) es el radio del círculo mayor, entonces: \[ \mathrm{AC} = 12 \text{ cm} \] Esto implica que: \[ 3x = 12 \implies x = 4 \] Por lo tanto, tenemos: \[ \mathrm{AB} = x = 4 \text{ cm} \] Ahora, sabemos que \( \mathrm{AB} \) es el radio del círculo menor. Así que el radio del círculo menor es 4 cm. Ahora podemos calcular las áreas de ambos círculos: 1. **Área del círculo mayor** (radio = 12 cm): \[ A_{\text{mayor}} = \pi r^2 = \pi (12)^2 = 144\pi \text{ cm}^2 \] 2. **Área del círculo menor** (radio = 4 cm): \[ A_{\text{menor}} = \pi r^2 = \pi (4)^2 = 16\pi \text{ cm}^2 \] Finalmente, el área sombreada, que es el área del círculo mayor menos el área del círculo menor, se calcula como: \[ A_{\text{sombreada}} = A_{\text{mayor}} - A_{\text{menor}} = 144\pi - 16\pi = 128\pi \text{ cm}^2 \] Por lo tanto, el área sombreada es: \[ \boxed{128\pi \text{ cm}^2} \]