4 Resslva a equaplo ueando a fímula resolvenle a) \( 5 x^{3}-4 x+2=0 \)

Para resolver la ecuación cúbica \( 5x^3 - 4x + 2 = 0 \) utilizando la fórmula resolvente, primero debemos recordar que la fórmula general para una ecuación cúbica de la forma \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) es un poco más compleja que la de las ecuaciones cuadráticas. En este caso, la ecuación no tiene un término cuadrático (\( b = 0 \)), por lo que podemos simplificar el proceso. La ecuación se puede reescribir como: \[ 5x^3 + 0x^2 - 4x + 2 = 0 \] Para aplicar la fórmula resolvente, primero normalizamos la ecuación dividiendo todos los términos por \( a = 5 \): \[ x^3 - \frac{4}{5}x + \frac{2}{5} = 0 \] Ahora, podemos usar la fórmula de Cardano para resolver la ecuación cúbica. La fórmula de Cardano se aplica a ecuaciones de la forma \( x^3 + px + q = 0 \), donde: - \( p = -\frac{4}{5} \) - \( q = \frac{2}{5} \) Calculamos el discriminante \( D \): \[ D = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 \] Sustituyendo los valores de \( p \) y \( q \): \[ D = \left(\frac{\frac{2}{5}}{2}\right)^2 + \left(\frac{-\frac{4}{5}}{3}\right)^3 \] Calculamos cada término: \[ D = \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(-\frac{4}{15}\right)^3 \] \[ D = \frac{1}{25} - \frac{64}{3375} \] Para sumar estas fracciones, encontramos un denominador común. El mínimo común múltiplo de 25 y 3375 es 3375: \[ D = \frac{135}{3375} - \frac{64}{3375} = \frac{71}{3375} \] Dado que \( D > 0 \), la ecuación tiene tres raíces reales. Ahora, calculamos las raíces usando la fórmula de Cardano: \[ u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{D}} \quad \text{y} \quad v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{D}} \] Calculamos \( u \) y \( v \): \[ u = \sqrt[3]{-\frac{1}{5} + \sqrt{\frac{71}{3375}}} \] \[ v = \sqrt[3]{-\frac{1}{5} - \sqrt{\frac{71}{3375}}} \] Finalmente, la solución general para \( x \) es: \[ x = u + v \] Para obtener las raíces exactas, se recomienda usar una calculadora o software de álgebra para evaluar \( u \) y \( v \) y luego sumarlos. Sin embargo, también se puede usar métodos numéricos o gráficos para encontrar las raíces de la ecuación cúbica. Si necesitas un valor aproximado, se puede usar un método como la bisección o Newton-Raphson para encontrar las raíces. Si deseas que continúe con un método numérico o gráfico, házmelo saber.