5. Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de \( 20^{\circ} \). Calcula la distancia entre Alberto y Camilo.

Para resolver el problema, podemos usar la ley de los cosenos. Denotemos las posiciones de los amigos de la siguiente manera: - \( A \): posición de Alberto - \( B \): posición de Berto - \( C \): posición de Camilo Sabemos que: - La distancia entre Alberto y Berto es \( AB = 25 \) metros. - La distancia entre Berto y Camilo es \( BC = 12 \) metros. - El ángulo en la esquina de Camilo, \( \angle ABC = 20^\circ \). Queremos encontrar la distancia \( AC \) entre Alberto y Camilo. Usamos la ley de los cosenos, que establece que para un triángulo con lados \( a \), \( b \) y \( c \), y un ángulo \( \theta \) opuesto al lado \( c \): \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta) \] En nuestro caso: - \( a = AB = 25 \) metros - \( b = BC = 12 \) metros - \( \theta = \angle ABC = 20^\circ \) - \( c = AC \) Sustituyendo en la fórmula: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(20^\circ) \] Calculamos cada término: 1. \( AB^2 = 25^2 = 625 \) 2. \( BC^2 = 12^2 = 144 \) 3. \( 2 \cdot AB \cdot BC = 2 \cdot 25 \cdot 12 = 600 \) 4. \( \cos(20^\circ) \approx 0.9397 \) (usando una calculadora) Ahora, calculamos \( 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(20^\circ) \): \[ 600 \cdot 0.9397 \approx 563.82 \] Ahora sustituimos todo en la ecuación: \[ AC^2 = 625 + 144 - 563.82 \] Calculamos: \[ AC^2 = 769 - 563.82 \approx 205.18 \] Finalmente, tomamos la raíz cuadrada para encontrar \( AC \): \[ AC \approx \sqrt{205.18} \approx 14.32 \text{ metros} \] Por lo tanto, la distancia entre Alberto y Camilo es aproximadamente \( 14.32 \) metros.