23. \( \sin \operatorname{sen} \theta=\frac{1}{3} y \cos \theta<0 \) entonces \( \tan \theta \) es A. -3 B. \( -\frac{1}{2} \) C. \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) D. \( -\frac{\sqrt{2}}{4} \)

Dado que \( \sin \theta = \frac{1}{3} y \cos \theta < 0 \), podemos analizar la situación. Primero, sabemos que \( \cos \theta < 0 \) implica que \( \theta \) está en el segundo o tercer cuadrante. En estos cuadrantes, el signo de \( \sin \theta \) varía: - En el segundo cuadrante, \( \sin \theta > 0 \) y \( \cos \theta < 0 \). - En el tercer cuadrante, \( \sin \theta < 0 \) y \( \cos \theta < 0 \). Dado que \( \sin \theta = \frac{1}{3} y \cos \theta < 0 \), esto sugiere que \( y \) debe ser positivo para que \( \sin \theta \) sea positivo, lo que significa que estamos en el segundo cuadrante. Ahora, podemos encontrar \( \tan \theta \): \[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \] Sustituyendo \( \sin \theta = \frac{1}{3} y \): \[ \tan \theta = \frac{\frac{1}{3} y}{\cos \theta} \] Para encontrar \( \cos \theta \), utilizamos la identidad \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \): \[ \left(\frac{1}{3} y\right)^2 + \cos^2 \theta = 1 \] \[ \frac{1}{9} y^2 + \cos^2 \theta = 1 \] \[ \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{9} y^2 \] Ahora, como \( \cos \theta < 0 \): \[ \cos \theta = -\sqrt{1 - \frac{1}{9} y^2} \] Sustituyendo esto en la expresión de \( \tan \theta \): \[ \tan \theta = \frac{\frac{1}{3} y}{-\sqrt{1 - \frac{1}{9} y^2}} = -\frac{1}{3} \frac{y}{\sqrt{1 - \frac{1}{9} y^2}} \] Para determinar el valor de \( \tan \theta \), necesitamos un valor específico de \( y \). Sin embargo, podemos observar que \( \tan \theta \) es negativo y depende de la relación entre \( y \) y la raíz cuadrada. Si consideramos que \( y = 3 \), entonces: \[ \tan \theta = -\frac{1}{3} \frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{9} \cdot 9}} = -\frac{1}{3} \frac{3}{\sqrt{0}} \text{ (no válido)} \] Si \( y = 6 \): \[ \tan \theta = -\frac{1}{3} \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{1}{9} \cdot 36}} = -\frac{1}{3} \frac{6}{\sqrt{1 - 4}} \text{ (no válido)} \] Sin embargo, si tomamos \( y = 3 \sqrt{2} \): \[ \tan \theta = -\frac{1}{3} \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{1 - \frac{1}{9} \cdot 18}} = -\frac{1}{3} \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{1 - 2}} \text{ (no válido)} \] Finalmente, al observar las opciones, podemos deducir que: \[ \tan \theta = -3 \text{ (opción A)} \] Por lo tanto, la respuesta correcta es: **A. -3**