\( a+a r+a r^{2}+\cdots+a r^{n}=\frac{a r^{n+1}-a}{r-1} \) para todos los enteros \( n \) no negativos cuandor \( \neq 1 \)

La expresión que has escrito es la suma de una serie geométrica. La fórmula que proporcionaste es correcta para la suma de los primeros \( n+1 \) términos de una serie geométrica donde: - \( a \) es el primer término, - \( r \) es la razón de la serie, - \( n \) es el número de términos menos uno (es decir, si tienes \( n+1 \) términos, \( n \) es el índice del último término). La suma de la serie geométrica se puede expresar como: \[ S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^n \] Para \( r \neq 1 \), la suma se puede calcular utilizando la fórmula: \[ S_n = \frac{a(1 - r^{n+1})}{1 - r} \] Sin embargo, si reorganizamos la fórmula, también podemos escribirla como: \[ S_n = \frac{ar^{n+1} - a}{r - 1} \] Esto es equivalente a la fórmula que proporcionaste. La condición \( r \neq 1 \) es importante porque si \( r = 1 \), todos los términos de la serie son iguales a \( a \), y la suma sería simplemente \( (n+1)a \). Por lo tanto, la fórmula que diste es válida y se utiliza para calcular la suma de una serie geométrica cuando la razón \( r \) no es igual a 1.