2. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de los cilindros, teniendo en cuenta las condiciones dadas. a. El radio de la base del cilindro es \( 0,9 \mathrm{~m} \) y su altura es 30 cm . b. El diámetro de la base del cilindro es 14 cm y su altura es 7 cm . c. El área de la base es \( 144 \pi \mathrm{~cm}^{2} \) y la altura es 10 cm . d. El valor del área lateral es igual al valor del volumen y la altura mide 5 cm .

Para calcular el área lateral, el área total y el volumen de los cilindros, utilizaremos las siguientes fórmulas: 1. **Área lateral (AL)**: \[ AL = 2 \pi r h \] 2. **Área total (AT)**: \[ AT = AL + 2A_b \] donde \( A_b \) es el área de la base, que se calcula como: \[ A_b = \pi r^2 \] 3. **Volumen (V)**: \[ V = A_b \cdot h = \pi r^2 h \] Ahora, procedemos a calcular para cada caso: ### a. Radio de la base \( r = 0.9 \, \text{m} \) y altura \( h = 30 \, \text{cm} \) Primero convertimos la altura a metros: \[ h = 30 \, \text{cm} = 0.3 \, \text{m} \] Ahora calculamos: - **Área de la base**: \[ A_b = \pi (0.9)^2 = \pi (0.81) \approx 2.545 \, \text{m}^2 \] - **Área lateral**: \[ AL = 2 \pi (0.9)(0.3) = 0.54 \pi \approx 1.696 \, \text{m}^2 \] - **Área total**: \[ AT = AL + 2A_b = 0.54 \pi + 2(2.545) \approx 1.696 + 5.09 \approx 6.786 \, \text{m}^2 \] - **Volumen**: \[ V = A_b \cdot h = 2.545 \cdot 0.3 \approx 0.7635 \, \text{m}^3 \] ### b. Diámetro de la base \( d = 14 \, \text{cm} \) y altura \( h = 7 \, \text{cm} \) Primero calculamos el radio: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7 \, \text{cm} = 0.07 \, \text{m} \] Ahora calculamos: - **Área de la base**: \[ A_b = \pi (0.07)^2 = \pi (0.0049) \approx 0.0154 \, \text{m}^2 \] - **Área lateral**: \[ AL = 2 \pi (0.07)(0.07) = 0.0098 \pi \approx 0.0308 \, \text{m}^2 \] - **Área total**: \[ AT = AL + 2A_b = 0.0098 \pi + 2(0.0154) \approx 0.0308 + 0.0308 \approx 0.0616 \, \text{m}^2 \] - **Volumen**: \[ V = A_b \cdot h = 0.0154 \cdot 0.07 \approx 0.001078 \, \text{m}^3 \] ### c. Área de la base \( A_b = 144 \pi \, \text{cm}^2 \) y altura \( h = 10 \, \text{cm} \) Primero convertimos el área de la base a metros cuadrados: \[ A_b = 144 \pi \, \text{cm}^2 = 0.0144 \pi \, \text{m}^2 \] Ahora calculamos: - **Radio**: \[ r = \sqrt{\frac{A_b}{\pi}} = \sqrt{144} = 12 \, \text{cm} = 0.12 \, \text{m} \] - **Área lateral**: \[ AL = 2 \pi (0.12)(0.1) = 0.024 \pi \approx 0.0754 \, \text{m}^2 \] - **Área total**: \[ AT = AL + 2A_b = 0.024 \pi + 2(0.0144 \pi) \approx 0.0754 + 0.0906 \approx 0.166 \, \text{m}^2 \] - **Volumen**: \[ V = A_b \cdot h = 0.0144 \pi \cdot 0.1 \approx 0.00144 \, \text{m}^3 \] ### d. Área lateral igual al volumen y altura \( h = 5 \, \text{cm} \) Dado que \( AL = V \), podemos usar la relación: \[ AL = 2 \pi r h \quad \text{y} \quad V = \pi r^2 h \] Igualando: \[ 2 \pi r h = \pi r^2 h \] Cancelamos \( \pi h \) (asumiendo \( h \neq 0 \)): \[ 2r = r^2 \implies r^2 - 2r = 0 \implies r(r - 2) = 0 \] Por lo tanto, \( r = 2 \, \text{cm} \) (despreciamos \( r = 0 \)). Ahora calculamos: - **Área de la base**: \[ A_b = \pi (0.02)^2 = \pi (0.0004) \approx 0.001256 \, \text{m}^2 \] - **Área lateral**: \[ AL = 2 \pi (0.02)(0.05) = 0.002 \pi \approx 0.006283 \, \text{m}^2 \] - **Área total**: \[ AT = AL + 2A_b = 0.002 \pi + 2(0.001256) \approx 0.006283 + 0.002512 \approx 0.008795 \, \text{m}^2 \] - **Volumen**: \[ V = A_b \cdot h = 0.001256 \cdot 0.05 \approx 0.0000628 \, \text{m}^3 \] ### Resumen de resultados: - **a.** - Área lateral: \( 1.696 \, \text{m}^2 \) - Área total: \( 6.786 \, \text{m}^2 \) - Volumen: \( 0.7635 \, \text{m}^3 \) - **b.** - Área lateral: \( 0.0308 \, \text{m}^2 \) - Área total: \( 0.0616 \, \text{m}^2 \) - Volumen: \( 0.001078 \, \text{m}^3 \) - **c.** - Área lateral: \( 0.0754 \, \text{m}^2 \) - Área total: \( 0.166 \, \text{m}^2 \) - Volumen: \( 0.00144 \, \text{m}^3 \) - **d.** - Área lateral: \( 0.006283 \, \text{m}^2 \) - Área total: \( 0.008795 \, \text{m}^2 \) - Volumen: \( 0.0000628 \, \text{m}^3 \)