Transformar a rectangular las siguientes ecuación polar a) \( r=3 \sec \emptyset \) b) \( r^{2} \operatorname{sen} 2 \emptyset=2 \)

Para transformar las ecuaciones polares a coordenadas rectangulares, utilizamos las siguientes relaciones: - \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) - \( x = r \cos \theta \) - \( y = r \sin \theta \) - \( \tan \theta = \frac{y}{x} \) Ahora, transformemos las ecuaciones dadas: ### a) \( r = 3 \sec \theta \) La función secante se define como \( \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \). Por lo tanto, podemos reescribir la ecuación como: \[ r = \frac{3}{\cos \theta} \] Multiplicando ambos lados por \( \cos \theta \): \[ r \cos \theta = 3 \] Sustituyendo \( r \cos \theta \) por \( x \): \[ x = 3 \] ### b) \( r^{2} \sin 2\theta = 2 \) Utilizamos la identidad \( \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \): \[ r^{2} (2 \sin \theta \cos \theta) = 2 \] Dividiendo ambos lados por 2: \[ r^{2} \sin \theta \cos \theta = 1 \] Sustituyendo \( r \sin \theta \) por \( y \) y \( r \cos \theta \) por \( x \): \[ y \cdot x = 1 \] Por lo tanto, la ecuación en coordenadas rectangulares es: \[ xy = 1 \] ### Resumen de las transformaciones: a) \( r = 3 \sec \theta \) se transforma en \( x = 3 \). b) \( r^{2} \sin 2\theta = 2 \) se transforma en \( xy = 1 \).