Calcola il risultato delle seguenti espressic indicando le proprietà delle potenze utilizzate \( 1912^{3} \cdot 2^{2} ; \quad 10^{3}: 5^{3} \).

Calcoliamo i due espressioni separatamente, indicando le proprietà delle potenze utilizzate. 1. **Calcolo di \( 1912^{3} \cdot 2^{2} \)** Non possiamo semplificare direttamente \( 1912^{3} \) e \( 2^{2} \) poiché non sono potenze della stessa base. Procediamo quindi a calcolare i valori: \[ 1912^{3} = 1912 \cdot 1912 \cdot 1912 \] Calcoliamo prima \( 1912^{2} \): \[ 1912 \cdot 1912 = 3,655,744 \] Ora moltiplichiamo per \( 1912 \): \[ 3,655,744 \cdot 1912 = 6,999,999,488 \] Ora calcoliamo \( 2^{2} \): \[ 2^{2} = 4 \] Infine, moltiplichiamo i risultati: \[ 1912^{3} \cdot 2^{2} = 6,999,999,488 \cdot 4 = 27,999,997,952 \] 2. **Calcolo di \( 10^{3} : 5^{3} \)** Utilizziamo la proprietà delle potenze che afferma che \( \frac{a^{m}}{b^{m}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{m} \): \[ 10^{3} : 5^{3} = \frac{10^{3}}{5^{3}} = \left(\frac{10}{5}\right)^{3} \] Calcoliamo \( \frac{10}{5} \): \[ \frac{10}{5} = 2 \] Ora eleviamo al cubo: \[ \left(2\right)^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \] Riassumendo, i risultati finali sono: - \( 1912^{3} \cdot 2^{2} = 27,999,997,952 \) - \( 10^{3} : 5^{3} = 8 \)