Soit \( f(x)=|x-2|+|1-x|-4 \) 1) Montrer que f est une fonction affine par intervalle. 2) Representer graphiquement \( f \).

Pour analyser la fonction \( f(x) = |x-2| + |1-x| - 4 \), nous allons d'abord déterminer les points où les expressions à l'intérieur des valeurs absolues changent de signe. Cela se produit aux points \( x = 1 \) et \( x = 2 \). ### 1) Montrer que \( f \) est une fonction affine par intervalle Nous allons examiner \( f(x) \) sur les intervalles déterminés par ces points : - **Intervalle \( (-\infty, 1) \)** : - Dans cet intervalle, \( x < 1 \) et \( x < 2 \), donc : \[ f(x) = |x-2| + |1-x| - 4 = (2-x) + (1-x) - 4 = 3 - 2x - 4 = -2x - 1 \] - **Intervalle \( [1, 2) \)** : - Dans cet intervalle, \( x \geq 1 \) et \( x < 2 \), donc : \[ f(x) = |x-2| + |1-x| - 4 = (2-x) + (x-1) - 4 = 2 - 1 - 4 = -3 \] - **Intervalle \( [2, +\infty) \)** : - Dans cet intervalle, \( x \geq 2 \), donc : \[ f(x) = |x-2| + |1-x| - 4 = (x-2) + (x-1) - 4 = 2x - 7 \] Nous avons donc les expressions suivantes pour \( f(x) \) sur chaque intervalle : - Pour \( x < 1 \) : \( f(x) = -2x - 1 \) (affine) - Pour \( 1 \leq x < 2 \) : \( f(x) = -3 \) (constante, donc affine) - Pour \( x \geq 2 \) : \( f(x) = 2x - 7 \) (affine) Ainsi, \( f \) est une fonction affine par intervalle. ### 2) Représenter graphiquement \( f \) Pour tracer le graphique de \( f(x) \), nous allons considérer les trois cas que nous avons trouvés : 1. **Pour \( x < 1 \)** : La droite \( f(x) = -2x - 1 \) a une pente de -2 et passe par le point \( (1, -3) \). 2. **Pour \( 1 \leq x < 2 \)** : La fonction est constante et égale à -3. Cela signifie que pour \( x \) entre 1 et 2, la valeur de \( f(x) \) est toujours -3. 3. **Pour \( x \geq 2 \)** : La droite \( f(x) = 2x - 7 \) a une pente de 2 et passe par le point \( (2, -3) \). ### Points clés à tracer : - À \( x = 1 \), \( f(1) = -3 \). - À \( x = 2 \), \( f(2) = -3 \). - Pour \( x < 1 \), par exemple, à \( x = 0 \), \( f(0) = -1 \). - Pour \( x \geq 2 \), par exemple, à \( x = 3 \), \( f(3) = -1 \). ### Graphique Le graphique de \( f(x) \) est donc constitué de : - Une droite décroissante pour \( x < 1 \) qui passe par \( (0, -1) \) et se prolonge vers \( -\infty \). - Une ligne horizontale à \( y = -3 \) entre \( x = 1 \) et \( x = 2 \). - Une droite croissante pour \( x \geq 2 \) qui passe par \( (2, -3) \) et continue vers \( +\infty \). Voici une représentation schématique : ``` y | | _________ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |