Se sientan en línea recta 7 hombres y 4 mujeres en forma aleatoria. Calcule la probabilidad de que todas las mujeres deben sentarse juntas.

Para calcular la probabilidad de que todas las mujeres se sienten juntas en una fila de 7 hombres y 4 mujeres, podemos seguir estos pasos: 1. **Tratar a las mujeres como un solo bloque**: Si consideramos a las 4 mujeres como un solo "bloque", entonces tenemos 7 hombres + 1 bloque de mujeres = 8 "personas" para organizar. 2. **Calcular las permutaciones de los bloques**: Las 8 "personas" (7 hombres + 1 bloque de mujeres) se pueden organizar de \(8!\) maneras. 3. **Calcular las permutaciones dentro del bloque de mujeres**: Dentro del bloque de mujeres, las 4 mujeres se pueden organizar de \(4!\) maneras. 4. **Calcular el total de maneras en que se pueden sentar todos**: Sin restricciones, los 11 (7 hombres + 4 mujeres) se pueden organizar de \(11!\) maneras. 5. **Calcular la probabilidad**: La probabilidad de que todas las mujeres se sienten juntas es el número de maneras en que se pueden organizar con las mujeres juntas dividido por el número total de maneras en que se pueden organizar todos. Ahora, calculamos: - \(8! = 40320\) - \(4! = 24\) - \(11! = 39916800\) Entonces, el número de maneras en que las mujeres pueden sentarse juntas es: \[ 8! \times 4! = 40320 \times 24 = 967680 \] La probabilidad de que todas las mujeres se sienten juntas es: \[ P(\text{todas juntas}) = \frac{8! \times 4!}{11!} = \frac{967680}{39916800} \] Calculamos esta fracción: \[ P(\text{todas juntas}) = \frac{967680}{39916800} \approx 0.0242 \] Por lo tanto, la probabilidad de que todas las mujeres se sienten juntas es aproximadamente \(0.0242\) o \(2.42\%\).