Se sientan en línea recta 7 hombres y 4 mujeres en forma aleatoria. Calcule la probabilidad de que todas las mujeres deben sentarse juntas. Seleccione una: a. \( \frac{1}{665} \) b. \( \frac{2}{495} \) c. \( \frac{4}{165} \) d. \( \frac{1}{990} \)

Para resolver el problema, primero consideramos a las 4 mujeres como un solo "bloque" o "unidad". Esto se debe a que queremos que todas las mujeres se sienten juntas. Entonces, en lugar de tener 7 hombres y 4 mujeres, ahora tenemos 7 hombres + 1 bloque de mujeres = 8 "unidades" que se pueden organizar. 1. **Calcular el número total de maneras de organizar a 7 hombres y 4 mujeres sin restricciones:** \[ \text{Total de maneras} = (7 + 4)! = 11! = 39916800 \] 2. **Calcular el número de maneras de organizar a las 8 unidades (7 hombres + 1 bloque de mujeres):** \[ \text{Maneras de organizar las 8 unidades} = 8! = 40320 \] 3. **Calcular el número de maneras de organizar a las 4 mujeres dentro de su bloque:** \[ \text{Maneras de organizar las 4 mujeres} = 4! = 24 \] 4. **Calcular el número total de maneras en que las mujeres están juntas:** \[ \text{Total con mujeres juntas} = 8! \times 4! = 40320 \times 24 = 967680 \] 5. **Calcular la probabilidad de que todas las mujeres se sienten juntas:** \[ P(\text{mujeres juntas}) = \frac{\text{Total con mujeres juntas}}{\text{Total de maneras}} = \frac{967680}{39916800} \] 6. **Simplificar la fracción:** \[ P(\text{mujeres juntas}) = \frac{967680 \div 40320}{39916800 \div 40320} = \frac{24}{990} = \frac{4}{165} \] Por lo tanto, la probabilidad de que todas las mujeres se sienten juntas es: \[ \boxed{\frac{4}{165}} \] La respuesta correcta es la opción c. \( \frac{4}{165} \).