3. De las siguientes funciones: \[ \begin{array}{l}\text { Funcion 1. } y=+1 x^{2}+1 x-1 \\ \text { Función 2. } y=+4 x^{2}-2 x-3\end{array} \] a. Escoja los elementos del conjunto \( X \) b. Halle los elementos del conjunto \( Y \) c. Halle el eje de simétria d. Halle el vértice e. Tabule f. Grafique

Para analizar las funciones dadas, primero las reescribimos de manera más clara: 1. Función 1: \( y = x^2 + x - 1 \) 2. Función 2: \( y = 4x^2 - 2x - 3 \) ### a. Elementos del conjunto \( X \) El conjunto \( X \) se refiere a los valores de \( x \) que se pueden utilizar en las funciones. En este caso, como son funciones cuadráticas, \( X \) puede ser cualquier número real. Por lo tanto: \[ X = \mathbb{R} \] ### b. Elementos del conjunto \( Y \) Para encontrar los elementos del conjunto \( Y \), necesitamos determinar los valores de \( y \) que pueden tomar las funciones. Esto se puede hacer encontrando los vértices y el rango de cada función. #### Función 1: \( y = x^2 + x - 1 \) 1. **Vértice**: La coordenada \( x \) del vértice se encuentra usando la fórmula \( x = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = 1 \) y \( b = 1 \). \[ x = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2} \] Sustituyendo \( x = -\frac{1}{2} \) en la función para encontrar \( y \): \[ y = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) - 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{5}{4} \] El vértice es \( \left(-\frac{1}{2}, -\frac{5}{4}\right) \). Como la parábola abre hacia arriba, el rango es: \[ Y_1 = \left[-\frac{5}{4}, +\infty\right) \] #### Función 2: \( y = 4x^2 - 2x - 3 \) 1. **Vértice**: Usamos la misma fórmula para encontrar la coordenada \( x \) del vértice. \[ x = -\frac{-2}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \] Sustituyendo \( x = \frac{1}{4} \) en la función para encontrar \( y \): \[ y = 4\left(\frac{1}{4}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{4}\right) - 3 = 4\left(\frac{1}{16}\right) - \frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{13}{4} \] El vértice es \( \left(\frac{1}{4}, -\frac{13}{4}\right) \). Como esta parábola también abre hacia arriba, el rango es: \[ Y_2 = \left[-\frac{13}{4}, +\infty\right) \] ### c. Eje de simetría El eje de simetría de una parábola se encuentra en la coordenada \( x \) del vértice. - Para la Función 1: \( x = -\frac{1}{2} \) - Para la Función 2: \( x = \frac{1}{4} \) ### d. Vértice Ya hemos encontrado los vértices: - Vértice de la Función 1: \( \left(-\frac{1}{2}, -\frac{5}{4}\right) \) - Vértice de la Función 2: \( \left(\frac{1}{4}, -\frac{13}{4}\right) \) ### e. Tabule Vamos a tabular algunos valores para ambas funciones. #### Función 1: \( y = x^2 + x - 1 \) | \( x \) | \( y \) | |---------|---------| | -2 | 1 | | -1 | -1 | | -0.5 | -1.25 | | 0