52. eoo Un esquiador de la modalidad de salto desciende por una rampa, que supondremos un plano inclinado que forma \( 13^{\circ} \) con la horizontal y de 50 m de longitud, en un tiempo de \( 6,7 \mathrm{~s} \). El extremo inferior de la rampa se encuentra a 14 m sobre el suelo horizontal. Suponiendo que parte del reposo, calcula: a) la velocidad que tendrá al abandonar la rampa; \( \begin{array}{ll}\text { b) la distancia horizontal que recorrerá en el aire antes de } \\ \text { Ilegar al suelo. } & \text { Sol.: a) } 15 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-1} \text {; b) } 20 \mathrm{~m}\end{array} \)

Para resolver el problema, vamos a descomponerlo en dos partes: primero calcularemos la velocidad del esquiador al abandonar la rampa y luego la distancia horizontal que recorrerá en el aire. ### a) Velocidad al abandonar la rampa Sabemos que el esquiador parte del reposo y desciende por una rampa de 50 m de longitud en un tiempo de 6,7 s. Podemos usar la fórmula de la velocidad media: \[ v = \frac{d}{t} \] donde: - \( d = 50 \, \text{m} \) (longitud de la rampa) - \( t = 6,7 \, \text{s} \) Sustituyendo los valores: \[ v = \frac{50 \, \text{m}}{6,7 \, \text{s}} \approx 7,46 \, \text{m/s} \] Sin embargo, esta es la velocidad media a lo largo de la rampa. Para encontrar la velocidad al final de la rampa, podemos usar la ecuación de movimiento uniformemente acelerado, dado que el esquiador parte del reposo: \[ v^2 = u^2 + 2a s \] donde: - \( u = 0 \, \text{m/s} \) (velocidad inicial) - \( s = 50 \, \text{m} \) (distancia recorrida) - \( a \) es la aceleración. La aceleración se puede calcular a partir del componente de la gravedad a lo largo de la rampa. La aceleración a lo largo de la rampa es: \[ a = g \cdot \sin(\theta) \] donde \( g \approx 9,81 \, \text{m/s}^2 \) y \( \theta = 13^{\circ} \). Calculamos \( a \): \[ a = 9,81 \cdot \sin(13^{\circ}) \approx 9,81 \cdot 0,224 = 2,20 \, \text{m/s}^2 \] Ahora sustituimos \( a \) en la ecuación de velocidad: \[ v^2 = 0 + 2 \cdot 2,20 \cdot 50 \] \[ v^2 = 220 \] \[ v \approx \sqrt{220} \approx 14,83 \, \text{m/s} \] Por lo tanto, la velocidad al abandonar la rampa es aproximadamente \( 14,83 \, \text{m/s} \). ### b) Distancia horizontal que recorrerá en el aire Ahora, para calcular la distancia horizontal que recorrerá en el aire, necesitamos saber el tiempo que estará en el aire. El esquiador caerá desde una altura de 14 m. Usamos la fórmula de caída libre: \[ h = \frac{1}{2} g t^2 \] Despejamos \( t \): \[ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 14}{9,81}} \approx \sqrt{2,85} \approx 1,69 \, \text{s} \] Ahora, usando la velocidad horizontal (que es la misma que la velocidad al abandonar la rampa, \( v \approx 14,83 \, \text{m/s} \)), calculamos la distancia horizontal \( d \): \[ d = v \cdot t \] \[ d \approx 14,83 \cdot 1,69 \approx 25,06 \, \text{m} \] Por lo tanto, la distancia horizontal que recorrerá en el aire es aproximadamente \( 25,06 \, \text{m} \). ### Resumen de resultados - a) Velocidad al abandonar la rampa: \( \approx 14,83 \, \text{m/s} \) - b) Distancia horizontal recorrida en el aire: \( \approx 25,06 \, \text{m} \)