Uma empresa produz caixas de papelão de diferentes tamanhos. Um dos modelos de caixa sem tampa deve ser fabricado a partir de uma folha de papelão com 12 cm por 24 cm , cortando-se fora quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Quais devem ser as dimensôes dos quadrados a serem cortados dessa folha de papelão para que a caixa tenha volume máximo?

Para resolver o problema, vamos definir a variável \( x \) como o lado do quadrado que será cortado de cada canto da folha de papelão. Após cortar os quadrados e dobrar as laterais, as dimensões da caixa resultante serão: - Comprimento: \( 24 - 2x \) - Largura: \( 12 - 2x \) - Altura: \( x \) O volume \( V \) da caixa pode ser expresso pela fórmula: \[ V = (comprimento) \times (largura) \times (altura) = (24 - 2x)(12 - 2x)(x) \] Agora, vamos expandir essa expressão: \[ V = (24 - 2x)(12 - 2x)x \] Primeiro, vamos multiplicar os dois primeiros termos: \[ (24 - 2x)(12 - 2x) = 288 - 48x - 24x + 4x^2 = 288 - 72x + 4x^2 \] Agora, substituímos isso na fórmula do volume: \[ V = (288 - 72x + 4x^2)x = 288x - 72x^2 + 4x^3 \] Assim, temos a função volume: \[ V(x) = 4x^3 - 72x^2 + 288x \] Para encontrar o valor de \( x \) que maximiza o volume, precisamos calcular a derivada de \( V(x) \) e igualá-la a zero: \[ V'(x) = 12x^2 - 144x + 288 \] Igualando a derivada a zero: \[ 12x^2 - 144x + 288 = 0 \] Dividindo toda a equação por 12: \[ x^2 - 12x + 24 = 0 \] Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1} \] Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = 144 - 96 = 48 \] Portanto, temos: \[ x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{3} \] Assim, temos duas soluções: \[ x_1 = 6 + 2\sqrt{3} \quad \text{e} \quad x_2 = 6 - 2\sqrt{3} \] Como \( x \) deve ser positivo e também deve ser menor que 6 (para que as dimensões da caixa sejam positivas), consideramos apenas \( x_2 = 6 - 2\sqrt{3} \). Agora, vamos calcular o valor numérico de \( x_2 \): \[ \sqrt{3} \approx 1.732 \implies 2\sqrt{3} \approx 3.464 \] \[ x_2 \approx 6 - 3.464 \approx 2.536 \] Portanto, a dimensão dos quadrados a serem cortados para maximizar o volume da caixa é aproximadamente \( 2.54 \) cm. Assim, a resposta final é: **As dimensões dos quadrados a serem cortados devem ser aproximadamente 2.54 cm.**