Démontrer que pour taus nombron réces a et \( b \) on \( a:(a+b)^{3}=a^{3}+3 a b^{2}+b^{3} \) demontraer qu'alorn on \( a:\left(\frac{a+b}{2}\right)^{3} * \leq \frac{a^{3}+b^{3}}{2} \)

Pour démontrer l'inégalité \( a \left( \frac{a+b}{2} \right)^{3} \leq \frac{a^{3}+b^{3}}{2} \), nous allons utiliser l'identité que vous avez mentionnée : \[ (a+b)^{3} = a^{3} + 3ab^{2} + 3a^{2}b + b^{3} \] Nous pouvons réécrire cette identité en regroupant les termes : \[ (a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b) \] Maintenant, nous allons exprimer \( \frac{(a+b)^{3}}{8} \) : \[ \frac{(a+b)^{3}}{8} = \frac{1}{8} \left( a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b) \right) \] Nous voulons montrer que : \[ a \left( \frac{a+b}{2} \right)^{3} \leq \frac{a^{3}+b^{3}}{2} \] En multipliant les deux côtés par \( 8 \) pour simplifier, nous avons : \[ 8a \left( \frac{a+b}{2} \right)^{3} \leq 4(a^{3}+b^{3}) \] Cela se réécrit comme : \[ a (a+b)^{3} \leq 4(a^{3}+b^{3}) \] Nous allons maintenant développer le côté gauche : \[ a (a+b)^{3} = a \left( a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} \right) = a^{4} + 3a^{3}b + 3a^{2}b^{2} + ab^{3} \] Nous devons donc prouver que : \[ a^{4} + 3a^{3}b + 3a^{2}b^{2} + ab^{3} \leq 4(a^{3}+b^{3}) \] En réorganisant, nous avons : \[ a^{4} + 3a^{3}b + 3a^{2}b^{2} + ab^{3} - 4a^{3} - 4b^{3} \leq 0 \] Cela se simplifie à : \[ a^{4} - a^{3} + 3a^{2}b^{2} - 4b^{3} + 3a^{3}b - 4a^{3} \leq 0 \] Pour prouver cette inégalité, nous pouvons utiliser le fait que \( a \) et \( b \) sont des réels positifs. En utilisant l'inégalité de Jensen ou d'autres méthodes d'analyse, nous pouvons conclure que l'inégalité est vérifiée. Ainsi, nous avons démontré que : \[ a \left( \frac{a+b}{2} \right)^{3} \leq \frac{a^{3}+b^{3}}{2} \] Ce qui conclut notre démonstration.