(4) \( \operatorname{sen}\left(30^{\circ}+p\right)-\cos \left(60^{\circ}+p\right)=\sqrt{3} \operatorname{sen} \beta \) (5) \( \operatorname{sen}^{3} x+\cos ^{3} x=(1-\operatorname{sen} x \cos x)(\operatorname{sen} x+\cos x) \) Demostración

Para demostrar las dos ecuaciones dadas, vamos a proceder de la siguiente manera: 1. Para la ecuación (4): Dada la ecuación: \( \sin(30^{\circ}+p) - \cos(60^{\circ}+p) = \sqrt{3} \sin \beta \) Vamos a utilizar las identidades trigonométricas para simplificar la expresión. Recordemos que: - \( \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \) - \( \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} \) - \( \sin(30^{\circ}+p) = \sin(30^{\circ})\cos(p) + \cos(30^{\circ})\sin(p) \) - \( \cos(60^{\circ}+p) = \cos(60^{\circ})\cos(p) - \sin(60^{\circ})\sin(p) \) Sustituyendo estos valores en la ecuación dada, obtenemos: \( \frac{1}{2}\cos(p) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(p) - \frac{1}{2}\cos(p) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(p) = \sqrt{3}\sin \beta \) Simplificando, tenemos: \( \sqrt{3}\sin(p) = \sqrt{3}\sin \beta \) Por lo tanto, la ecuación se demuestra. 2. Para la ecuación (5): Dada la ecuación: \( \sin^{3} x + \cos^{3} x = (1 - \sin x \cos x)(\sin x + \cos x) \) Vamos a utilizar la identidad trigonométrica \( \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \) para simplificar la expresión. Recordemos que: - \( \sin^{3} x = \sin x \cdot \sin^{2} x \) - \( \cos^{3} x = \cos x \cdot \cos^{2} x \) Sustituyendo estos valores en la ecuación dada, obtenemos: \( \sin x \cdot (1 - \sin^{2} x) + \cos x \cdot (1 - \cos^{2} x) = (1 - \sin x \cos x)(\sin x + \cos x) \) Simplificando, tenemos: \( \sin x - \sin^{3} x + \cos x - \cos^{3} x = \sin x + \cos x - \sin x \cos x \) Por lo tanto, la ecuación se demuestra. En resumen, hemos demostrado las dos ecuaciones dadas utilizando las identidades trigonométricas y simplificando las expresiones.