Joseph Ray
04/09/2024 · Junior High School
Un trapezio isoscele, con l'area di \( 355 \mathrm{~cm}^{2} \), ha la somma e la differenza delle basi di 71 cm e 15 cm . Calcola il perimetro. \( \quad[96 \mathrm{~cm} \) ]
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Step-by-step Solution
Per risolvere il problema, iniziamo a definire le basi del trapezio isoscele. Siano \( b_1 \) e \( b_2 \) le lunghezze delle basi, con \( b_1 > b_2 \). Dalla somma e dalla differenza delle basi, abbiamo:
\[
b_1 + b_2 = 71 \, \text{cm}
\]
\[
b_1 - b_2 = 15 \, \text{cm}
\]
Possiamo risolvere questo sistema di equazioni. Sommiamo le due equazioni:
\[
(b_1 + b_2) + (b_1 - b_2) = 71 + 15
\]
\[
2b_1 = 86 \implies b_1 = 43 \, \text{cm}
\]
Ora sostituiamo \( b_1 \) nella prima equazione per trovare \( b_2 \):
\[
43 + b_2 = 71 \implies b_2 = 71 - 43 = 28 \, \text{cm}
\]
Quindi, abbiamo le basi:
\[
b_1 = 43 \, \text{cm}, \quad b_2 = 28 \, \text{cm}
\]
Ora calcoliamo l'altezza \( h \) del trapezio utilizzando la formula dell'area:
\[
A = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2}
\]
Sostituiamo i valori noti:
\[
355 = \frac{(43 + 28) \cdot h}{2}
\]
\[
355 = \frac{71 \cdot h}{2}
\]
\[
710 = 71h \implies h = \frac{710}{71} = 10 \, \text{cm}
\]
Ora che abbiamo l'altezza, possiamo calcolare i lati obliqui del trapezio isoscele. Per fare ciò, consideriamo il triangolo formato dall'altezza e dalla metà della differenza delle basi. La differenza delle basi è:
\[
b_1 - b_2 = 43 - 28 = 15 \, \text{cm}
\]
La metà di questa differenza è:
\[
\frac{15}{2} = 7.5 \, \text{cm}
\]
Ora possiamo usare il teorema di Pitagora per trovare la lunghezza dei lati obliqui \( l \):
\[
l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{b_1 - b_2}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 + 7.5^2}
\]
\[
l = \sqrt{100 + 56.25} = \sqrt{156.25} = 12.5 \, \text{cm}
\]
Ora possiamo calcolare il perimetro \( P \) del trapezio:
\[
P = b_1 + b_2 + 2l = 43 + 28 + 2 \cdot 12.5
\]
\[
P = 43 + 28 + 25 = 96 \, \text{cm}
\]
Quindi, il perimetro del trapezio isoscele è:
\[
\boxed{96 \, \text{cm}}
\]
Quick Answer
Il perimetro del trapezio isoscele è \( 96 \, \text{cm} \).
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