\( (10 \) pts) \( \quad y=2 x-3 \) 6. Gráfica \( f(x)=x^{2}-2 x+4(10 p t s) \)

Para graficar la función \( f(x) = x^2 - 2x + 4 \), primero identificamos que se trata de una parábola. La forma general de una parábola es \( ax^2 + bx + c \), donde en este caso: - \( a = 1 \) - \( b = -2 \) - \( c = 4 \) ### Paso 1: Encontrar el vértice El vértice de una parábola dada por \( f(x) = ax^2 + bx + c \) se puede encontrar usando la fórmula: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] Sustituyendo los valores de \( a \) y \( b \): \[ x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \] Ahora, sustituimos \( x_v \) en la función para encontrar \( y_v \): \[ y_v = f(1) = (1)^2 - 2(1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3 \] Por lo tanto, el vértice de la parábola es \( (1, 3) \). ### Paso 2: Encontrar las intersecciones con el eje \( y \) Para encontrar la intersección con el eje \( y \), evaluamos \( f(0) \): \[ f(0) = (0)^2 - 2(0) + 4 = 4 \] Así que la intersección con el eje \( y \) es \( (0, 4) \). ### Paso 3: Encontrar las intersecciones con el eje \( x \) Para encontrar las intersecciones con el eje \( x \), resolvemos la ecuación \( f(x) = 0 \): \[ x^2 - 2x + 4 = 0 \] Calculamos el discriminante: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12 \] Dado que el discriminante es negativo, no hay intersecciones con el eje \( x \). Esto significa que la parábola no cruza el eje \( x \) y está completamente por encima de este. ### Paso 4: Graficar la función Con la información anterior, podemos graficar la parábola: 1. Vértice en \( (1, 3) \). 2. Intersección con el eje \( y \) en \( (0, 4) \). 3. La parábola abre hacia arriba (ya que \( a > 0 \)). La gráfica se verá como una parábola que tiene su vértice en \( (1, 3) \) y que se eleva hacia arriba, sin cruzar el eje \( x \). ### Resumen La gráfica de \( f(x) = x^2 - 2x + 4 \) es una parábola con vértice en \( (1, 3) \) y que no tiene intersecciones con el eje \( x \). La intersección con el eje \( y \) es en \( (0, 4) \).