Exercices d'approfondissement Le plan est muni d'un repère \( (\mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{J}) \). ABC est un triangle et G le point du plan vérifiant 3 \( \overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0} \). 1. Démontre que G est le centre de gravité du triangle ABC . 2. On donne \( \mathrm{A}(-1 ; 3) ; \mathrm{B}(1 ;-2) \) et \( \mathrm{C}(4 ; 2) \). Détermine les coordonnées de G dans le repère (O, I, J). 3. a) Justifie que \( (\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}) \) est un repère. b) Détermine les coordonnées de G dans le repère \( (\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}) \).

### Exercices d'approfondissement Le plan est muni d'un repère \( (\mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{J}) \). ABC est un triangle et G le point du plan vérifiant \[ 3 \overrightarrow{\mathrm{GA}} + \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{0} \]. 1. **Démonstration que G est le centre de gravité du triangle ABC** Soit \( G(x, y) \), les coordonnées de G dans le repère \( (\mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{J}) \). Les coordonnées des points \( A, B, \) et \( C \) sont respectivement \( A(-1, 3) \), \( B(1, -2) \), et \( C(4, 2) \). Les vecteurs \( \overrightarrow{\mathrm{GA}}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \) et \( \overrightarrow{\mathrm{AC}} \) peuvent être exprimés comme suit : \[ \overrightarrow{\mathrm{GA}} = (x + 1, y - 3) \] \[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} = (1 - (-1), -2 - 3) = (2, -5) \] \[ \overrightarrow{\mathrm{AC}} = (4 - (-1), 2 - 3) = (5, -1) \] En substituant ces expressions dans l'équation donnée, on obtient : \[ 3(x + 1, y - 3) + (2, -5) + (5, -1) = (0, 0) \] Cela donne deux équations : \[ 3(x + 1) + 2 + 5 = 0 \] \[ 3(y - 3) - 5 - 1 = 0 \] Simplifions ces équations : \[ 3x + 3 + 2 + 5 = 0 \] \[ 3y - 9 - 5 - 1 = 0 \] \[ 3x + 10 = 0 \] \[ 3y - 15 = 0 \] \[ x = -\frac{10}{3} \] \[ y = 5 \] Donc, les coordonnées de G sont \( G\left(-\frac{10}{3}, 5\right) \). Le centre de gravité d'un triangle est donné par la formule : \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right) \] En substituant les coordonnées des points \( A, B, \) et \( C \) : \[ G\left(\frac{-1 + 1 + 4}{3}, \frac{3 - 2 + 2}{3}\right) = G\left(\frac{4}{3}, 1\right) \] Comparons les coordonnées de G obtenues avec celles du centre de gravité : \[ G\left(-\frac{10}{3}, 5\right) \neq G\left(\frac{4}{3}, 1\right) \] Il semble qu'il y ait une erreur dans la démonstration. Revenons à l'équation initiale : \[ 3 \overrightarrow{\mathrm{GA}} + \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{0} \] Si nous réécrivons l'équation en fonction des coordonnées des points : \[ 3(x + 1, y - 3) + (2, -5) + (5, -1) = (0, 0) \] Cela donne : \[ 3x + 3 + 2 + 5 = 0 \] \[ 3y - 9 - 5 - 1 = 0 \] \[ 3x + 10 = 0 \] \[ 3y - 15 = 0 \] \[ x = -\frac{10}{3} \] \[ y = 5 \] Cela ne correspond pas au centre de gravité. Revenons à l'équation initiale et essayons une autre approche : Soit \( G(x, y) \), les coordonnées de G dans le rep