Ejercicios 13. a) Hallar la ecuación explicita de la recta \( L \) que tiene pendiente \( \frac{3}{5} \) y pasa por \( P(12,5) \). b) Hallar una paralela a \( L \) que pase por \( Q(3,12) \) c) Hallar una perpendicular a \( L \) que pase por \( T(3,6) \)

Para resolver los ejercicios, vamos a utilizar la forma de la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente y la relación entre pendientes de rectas paralelas y perpendiculares. ### a) Hallar la ecuación explícita de la recta \( L \) La ecuación de la recta en forma punto-pendiente es: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] donde \( m \) es la pendiente y \( (x_1, y_1) \) es un punto por el que pasa la recta. En este caso, \( m = \frac{3}{5} \) y \( P(12, 5) \). Sustituyendo los valores: \[ y - 5 = \frac{3}{5}(x - 12) \] Ahora, despejamos \( y \): \[ y - 5 = \frac{3}{5}x - \frac{36}{5} \] Sumamos 5 a ambos lados: \[ y = \frac{3}{5}x - \frac{36}{5} + 5 \] Convertimos 5 a fracción con denominador 5: \[ 5 = \frac{25}{5} \] Entonces: \[ y = \frac{3}{5}x - \frac{36}{5} + \frac{25}{5} \] \[ y = \frac{3}{5}x - \frac{11}{5} \] Por lo tanto, la ecuación explícita de la recta \( L \) es: \[ y = \frac{3}{5}x - \frac{11}{5} \] ### b) Hallar una paralela a \( L \) que pase por \( Q(3,12) \) Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Por lo tanto, la pendiente de la recta paralela será también \( \frac{3}{5} \). Usamos la forma punto-pendiente nuevamente: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] donde \( m = \frac{3}{5} \) y \( Q(3, 12) \): \[ y - 12 = \frac{3}{5}(x - 3) \] Despejamos \( y \): \[ y - 12 = \frac{3}{5}x - \frac{9}{5} \] Sumamos 12 a ambos lados: \[ y = \frac{3}{5}x - \frac{9}{5} + 12 \] Convertimos 12 a fracción con denominador 5: \[ 12 = \frac{60}{5} \] Entonces: \[ y = \frac{3}{5}x - \frac{9}{5} + \frac{60}{5} \] \[ y = \frac{3}{5}x + \frac{51}{5} \] Por lo tanto, la ecuación de la recta paralela a \( L \) que pasa por \( Q(3,12) \) es: \[ y = \frac{3}{5}x + \frac{51}{5} \] ### c) Hallar una perpendicular a \( L \) que pase por \( T(3,6) \) Las rectas perpendiculares tienen pendientes que son el negativo recíproco de la pendiente de la otra recta. La pendiente de \( L \) es \( \frac{3}{5} \), por lo que la pendiente de la recta perpendicular será: \[ m = -\frac{5}{3} \] Usamos la forma punto-pendiente: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] donde \( m = -\frac{5}{3} \) y \( T(3, 6) \): \[ y - 6 = -\frac{5}{3}(x - 3) \] Despejamos \( y \): \[ y - 6 = -\frac{5}{3}x + 5 \] Sumamos 6 a ambos lados: \[ y = -\frac{5}{3}x + 5 + 6 \] \[ y = -\frac{5}{3}x + 11 \] Por lo tanto, la ecuación de la recta perpendicular a \( L \) que pasa por \( T(3,6) \) es: \[ y = -\frac{5}{3}x + 11 \]