Transformar a rectangular las siguientes ecuación polar a) \( r=3 \sec \varnothing \) b) \( r^{2} \operatorname{sen} 2 \varnothing=2 \)

Para transformar las ecuaciones polares a coordenadas rectangulares, utilizamos las siguientes relaciones: - \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) - \( x = r \cos \varnothing \) - \( y = r \sin \varnothing \) - \( \tan \varnothing = \frac{y}{x} \) Ahora, transformemos las ecuaciones dadas: ### a) \( r = 3 \sec \varnothing \) Sabemos que \( \sec \varnothing = \frac{1}{\cos \varnothing} \), por lo que podemos reescribir la ecuación como: \[ r = \frac{3}{\cos \varnothing} \] Multiplicando ambos lados por \( \cos \varnothing \): \[ r \cos \varnothing = 3 \] Sustituyendo \( r \cos \varnothing \) por \( x \): \[ x = 3 \] Por lo tanto, la ecuación polar \( r = 3 \sec \varnothing \) se transforma a la ecuación rectangular: \[ x = 3 \] ### b) \( r^{2} \sin 2 \varnothing = 2 \) Utilizamos la identidad \( \sin 2\varnothing = 2 \sin \varnothing \cos \varnothing \): \[ r^{2} (2 \sin \varnothing \cos \varnothing) = 2 \] Dividiendo ambos lados por 2: \[ r^{2} \sin \varnothing \cos \varnothing = 1 \] Sustituyendo \( r^{2} = x^2 + y^2 \), \( \sin \varnothing = \frac{y}{r} \), y \( \cos \varnothing = \frac{x}{r} \): \[ (x^2 + y^2) \left(\frac{y}{r}\right) \left(\frac{x}{r}\right) = 1 \] Multiplicando ambos lados por \( r^2 \): \[ (x^2 + y^2)xy = r^2 \] Sustituyendo \( r^2 \) por \( x^2 + y^2 \): \[ (x^2 + y^2)xy = x^2 + y^2 \] Si \( x^2 + y^2 \neq 0 \), podemos dividir ambos lados por \( x^2 + y^2 \): \[ xy = 1 \] Por lo tanto, la ecuación polar \( r^{2} \sin 2 \varnothing = 2 \) se transforma a la ecuación rectangular: \[ xy = 1 \] ### Resumen de las transformaciones: a) \( r = 3 \sec \varnothing \) se transforma en \( x = 3 \). b) \( r^{2} \sin 2 \varnothing = 2 \) se transforma en \( xy = 1 \).