Câu 01: (a) Tìm \( a, b \) và \( c \) sao cho \( x^{3}+3 a x+2 b=(x-1)(x-2)(x-c) \). (b) Tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức \( x^{4}-2 x^{3}-8 x^{2}+13 x-24 \).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một. ### Câu 01: (a) Chúng ta cần tìm \( a, b \) và \( c \) sao cho: \[ x^{3} + 3ax + 2b = (x-1)(x-2)(x-c) \] Đầu tiên, ta sẽ nhân hai vế bên phải: \[ (x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2 \] Tiếp theo, nhân với \( (x-c) \): \[ (x^2 - 3x + 2)(x - c) = x^3 - cx^2 - 3x^2 + 3cx + 2x - 2c \] Kết hợp các hạng tử lại, ta có: \[ x^3 + (-c - 3)x^2 + (3c + 2)x - 2c \] Bây giờ, ta so sánh với vế trái \( x^{3} + 0x^{2} + 3ax + 2b \): - Hệ số của \( x^2 \): \( -c - 3 = 0 \) \(\Rightarrow c = -3\) - Hệ số của \( x \): \( 3c + 2 = 3a \) - Hệ số hằng: \( -2c = 2b \) Thay \( c = -3 \) vào các phương trình trên: 1. Từ \( 3c + 2 = 3a \): \[ 3(-3) + 2 = 3a \Rightarrow -9 + 2 = 3a \Rightarrow -7 = 3a \Rightarrow a = -\frac{7}{3} \] 2. Từ \( -2c = 2b \): \[ -2(-3) = 2b \Rightarrow 6 = 2b \Rightarrow b = 3 \] Vậy ta có: \[ a = -\frac{7}{3}, \quad b = 3, \quad c = -3 \] ### Câu 01: (b) Chúng ta cần tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức: \[ x^{4} - 2x^{3} - 8x^{2} + 13x - 24 \] Theo định lý nghiệm hữu tỉ, các nghiệm hữu tỉ có thể là các ước của hằng số tự do chia cho các ước của hệ số cao nhất. Hệ số cao nhất là 1 và hằng số tự do là -24. Các ước của -24 là: \[ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24 \] Ta sẽ thử từng nghiệm: 1. Thử \( x = 2 \): \[ 2^4 - 2(2^3) - 8(2^2) + 13(2) - 24 = 16 - 16 - 32 + 26 - 24 = -30 \quad \text{(không phải nghiệm)} \] 2. Thử \( x = 3 \): \[ 3^4 - 2(3^3) - 8(3^2) + 13(3) - 24 = 81 - 54 - 72 + 39 - 24 = -30 \quad \text{(không phải nghiệm)} \] 3. Thử \( x = 4 \): \[ 4^4 - 2(4^3) - 8(4^2) + 13(4) - 24 = 256 - 128 - 128 + 52 - 24 = 28 \quad \text{(không phải nghiệm)} \] 4. Thử \( x = -2 \): \[ (-2)^4 - 2(-2)^3 - 8(-2)^2 + 13(-2) - 24 = 16 + 16 - 32 - 26 - 24 = -50 \quad \text{(không phải nghiệm)} \] 5. Thử \( x = -3 \): \[ (-3)^4 - 2(-3)^3 - 8(-3)^2 + 13(-3) - 24 = 81 + 54 - 72 - 39 - 24 = 0 \quad \text{(là nghiệm)} \] Vậy \( x =