Kelley Mitchell
09/07/2023 · Middle School
antre la raiz real entre 15 y 20 para el polinomio que se presenta a continuación Aplic do de Newton-Raphson a dicha función y obtenga el resultado usando cuatro cifras ficativas. \( (10 \) puntos \( ) \) \( =0.0074 x^{4}-0.284 x^{3}+3.355 x^{2}-12.183 x+5 \) 18.9470 19.3455 18.8948 18.8956
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Step-by-step Solution
Para aplicar el método de Newton-Raphson a la función dada, primero necesitamos definir la función y su derivada. La función es:
\[
f(x) = 0.0074x^4 - 0.284x^3 + 3.355x^2 - 12.183x + 5
\]
Ahora, calculamos la derivada de \( f(x) \):
\[
f'(x) = 0.0296x^3 - 0.852x^2 + 6.71x - 12.183
\]
El método de Newton-Raphson se define por la siguiente fórmula iterativa:
\[
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
\]
### Paso 1: Elegir un valor inicial
Dado que buscamos una raíz entre 15 y 20, podemos elegir un valor inicial. Vamos a elegir \( x_0 = 18.5 \).
### Paso 2: Calcular \( f(x_0) \) y \( f'(x_0) \)
Calculamos \( f(18.5) \) y \( f'(18.5) \):
\[
f(18.5) = 0.0074(18.5)^4 - 0.284(18.5)^3 + 3.355(18.5)^2 - 12.183(18.5) + 5
\]
Calculando cada término:
- \( 0.0074(18.5)^4 \approx 0.0074 \times 11664.0625 \approx 86.295 \)
- \( -0.284(18.5)^3 \approx -0.284 \times 6340.125 \approx -1801.5 \)
- \( 3.355(18.5)^2 \approx 3.355 \times 342.25 \approx 1145.5 \)
- \( -12.183(18.5) \approx -12.183 \times 18.5 \approx -225.9 \)
- \( +5 \)
Sumando todos los términos:
\[
f(18.5) \approx 86.295 - 1801.5 + 1145.5 - 225.9 + 5 \approx -790.605
\]
Ahora calculamos \( f'(18.5) \):
\[
f'(18.5) = 0.0296(18.5)^3 - 0.852(18.5)^2 + 6.71(18.5) - 12.183
\]
Calculando cada término:
- \( 0.0296(18.5)^3 \approx 0.0296 \times 6340.125 \approx 188.5 \)
- \( -0.852(18.5)^2 \approx -0.852 \times 342.25 \approx -291.5 \)
- \( 6.71(18.5) \approx 6.71 \times 18.5 \approx 124.1 \)
- \( -12.183 \)
Sumando todos los términos:
\[
f'(18.5) \approx 188.5 - 291.5 + 124.1 - 12.183 \approx 9.907
\]
### Paso 3: Aplicar la fórmula de Newton-Raphson
Ahora aplicamos la fórmula:
\[
x_1 = 18.5 - \frac{-790.605}{9.907} \approx 18.5 + 79.8 \approx 98.3
\]
Esto no parece correcto, así que revisemos los cálculos.
### Paso 4: Repetir el proceso
Vamos a elegir un nuevo valor inicial, \( x_0 = 19 \).
Calculamos \( f(19) \) y \( f'(19) \):
\[
f(19) = 0.0074(19)^4 - 0.284(19)^3 + 3.355(19)^2 - 12.183(19) + 5
\]
Calculando cada término:
- \( 0.0074(19)^4 \approx 0.0074 \times 130321 \approx 964.37 \)
- \( -0.284(19)^3 \approx -0.284 \times 6859 \approx -1945.5 \)
- \( 3.355(19)^2 \approx 3.355 \times 361 \approx 1213.5 \)
- \( -12.183(19) \approx -12
Quick Answer
La raíz real entre 15 y 20 para el polinomio \( 0.0074x^4 - 0.284x^3 + 3.355x^2 - 12.183x + 5 \) es aproximadamente 18.8956.
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