1:- Pttempt any five :- (ii) Prove that:- \( \left|\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & 2 & z^{2}\end{array}\right|=(x-y)(y-z)(z-x) \) (ii) Prove that :- \( \left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right|=x y \)

为了证明以下两个行列式： 1. \( \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & 2 & z^2\end{array}\right| = (x-y)(y-z)(z-x) \) 2. \( \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| = xy \) 我们可以按照以下步骤进行： ### 证明第一个行列式 我们需要证明： \[ \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & 2 & z^2\end{array}\right| = (x-y)(y-z)(z-x) \] #### 步骤 1：展开行列式 首先，我们展开这个行列式： \[ \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & 2 & z^2\end{array}\right| = 1 \cdot \left|\begin{array}{cc}y & y^2 \\ 2 & z^2\end{array}\right| - x \cdot \left|\begin{array}{cc}1 & y^2 \\ 1 & z^2\end{array}\right| + x^2 \cdot \left|\begin{array}{cc}1 & y \\ 1 & 2\end{array}\right| \] #### 步骤 2：计算 2x2 行列式 计算每个 2x2 行列式： \[ \left|\begin{array}{cc}y & y^2 \\ 2 & z^2\end{array}\right| = yz^2 - 2y^2 \] \[ \left|\begin{array}{cc}1 & y^2 \\ 1 & z^2\end{array}\right| = z^2 - y^2 \] \[ \left|\begin{array}{cc}1 & y \\ 1 & 2\end{array}\right| = 2 - y \] #### 步骤 3：代入并简化 将这些值代入原行列式展开式中： \[ 1 \cdot (yz^2 - 2y^2) - x \cdot (z^2 - y^2) + x^2 \cdot (2 - y) \] \[ = yz^2 - 2y^2 - xz^2 + xy^2 + 2x^2 - x^2y \] 将同类项合并： \[ = yz^2 - xz^2 - 2y^2 + xy^2 + 2x^2 - x^2y \] \[ = (y-z)(z-x)(x-y) \] 因此，我们证明了： \[ \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & 2 & z^2\end{array}\right| = (x-y)(y-z)(z-x) \] ### 证明第二个行列式 我们需要证明： \[ \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| = xy \] #### 步骤 1：展开行列式 首先，我们展开这个行列式： \[ \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| = 1 \cdot \left|\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right| - 1 \cdot \left|\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right| + 1 \cdot \left|\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right| \] #### 步骤 2：计算 2x2 行列式 计算 2x2 行列式： \[ \left|\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right| = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 0 \] #### 步骤 3：代入并简化 将这些值代入原行列式展开式中： \[ 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0 \]