3: Analizar-graficar a= le rminos \( 6= \) grafica \( \left\{\frac{n^{2}+1}{n^{2}}\right\} \)

Para analizar y graficar la función \( f(n) = \frac{n^2 + 1}{n^2} \), primero simplificamos la expresión: \[ f(n) = \frac{n^2 + 1}{n^2} = \frac{n^2}{n^2} + \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{n^2} \] Ahora, podemos observar el comportamiento de la función \( f(n) \) para diferentes valores de \( n \): 1. **Cuando \( n \) es positivo**: - A medida que \( n \) aumenta, \( \frac{1}{n^2} \) disminuye, lo que significa que \( f(n) \) se aproxima a 1. - Para \( n = 1 \), \( f(1) = 1 + 1 = 2 \). - Para \( n = 2 \), \( f(2) = 1 + \frac{1}{4} = 1.25 \). - Para \( n = 3 \), \( f(3) = 1 + \frac{1}{9} \approx 1.111 \). - Para \( n = 10 \), \( f(10) = 1 + \frac{1}{100} = 1.01 \). 2. **Cuando \( n \) es negativo**: - La función también se puede evaluar para valores negativos de \( n \). Sin embargo, dado que \( n^2 \) es siempre positivo, el comportamiento es similar. - Para \( n = -1 \), \( f(-1) = 2 \). - Para \( n = -2 \), \( f(-2) = 1.25 \). - Para \( n = -3 \), \( f(-3) \approx 1.111 \). - Para \( n = -10 \), \( f(-10) = 1.01 \). 3. **Comportamiento en el límite**: - Cuando \( n \) tiende a \( \infty \) o \( -\infty \), \( f(n) \) tiende a 1. ### Graficar la función Para graficar \( f(n) = 1 + \frac{1}{n^2} \): - El eje \( y \) tendrá valores que comienzan en 2 (cuando \( n = 1 \) o \( n = -1 \)) y se acercan a 1 a medida que \( n \) se aleja de 0. - La función es simétrica respecto al eje \( y \) porque \( f(n) = f(-n) \). - La gráfica se verá como una hipérbola que se aproxima a la línea horizontal \( y = 1 \) a medida que \( n \) se aleja de 0. ### Resumen La función \( f(n) = 1 + \frac{1}{n^2} \) tiene un valor mínimo de 2 en \( n = 1 \) y \( n = -1 \), y se aproxima a 1 a medida que \( n \) se aleja de 0. La gráfica es simétrica y se comporta de manera similar tanto para valores positivos como negativos de \( n \).