2. Del polinomio: \( E(x y)=x^{m+7} y^{8}+x^{3} y^{n+4} \) se sabe que: G.R(x) \( =16 \wedge C \cdot R(y)=14 \) calcular el valor de " \( m+n^{\prime \prime} \)

Para resolver el problema, primero necesitamos entender qué significan las condiciones dadas: \( G.R(x) = 16 \) y \( C \cdot R(y) = 14 \). 1. **Grado del polinomio en \( x \)**: El polinomio \( E(x, y) = x^{m+7} y^{8} + x^{3} y^{n+4} \) tiene dos términos. Para encontrar el grado de \( E \) en \( x \), tomamos el grado de cada término en \( x \): - El primer término \( x^{m+7} y^{8} \) tiene grado \( m + 7 \) en \( x \). - El segundo término \( x^{3} y^{n+4} \) tiene grado \( 3 \) en \( x \). El grado total en \( x \) es el mayor de estos dos grados: \[ G.R(x) = \max(m + 7, 3) = 16 \] Esto nos da dos casos: - Si \( m + 7 \geq 3 \), entonces \( m + 7 = 16 \) lo que implica \( m = 9 \). - Si \( m + 7 < 3 \), entonces \( 3 = 16 \), lo cual es una contradicción. Por lo tanto, debemos tener \( m + 7 = 16 \), lo que implica: \[ m = 9 \] 2. **Grado del polinomio en \( y \)**: Ahora, consideramos el grado del polinomio en \( y \): - El primer término \( x^{m+7} y^{8} \) tiene grado \( 8 \) en \( y \). - El segundo término \( x^{3} y^{n+4} \) tiene grado \( n + 4 \) en \( y \). El grado total en \( y \) es: \[ C \cdot R(y) = \max(8, n + 4) = 14 \] Esto nos da dos casos: - Si \( n + 4 \geq 8 \), entonces \( n + 4 = 14 \) lo que implica \( n = 10 \). - Si \( n + 4 < 8 \), entonces \( 8 = 14 \), lo cual es una contradicción. Por lo tanto, debemos tener \( n + 4 = 14 \), lo que implica: \[ n = 10 \] 3. **Cálculo de \( m + n \)**: Ahora que tenemos \( m = 9 \) y \( n = 10 \), podemos calcular: \[ m + n = 9 + 10 = 19 \] Por lo tanto, el valor de \( m + n \) es \( \boxed{19} \).