Hallar la longitud de la curva \( 4 y=2 x^{2} \rightarrow \ln x \) desde \( x=1 \) hasta \( x=e \)

Para hallar la longitud de la curva dada por la ecuación \( 4y = 2x^2 \) desde \( x = 1 \) hasta \( x = e \), primero debemos despejar \( y \): \[ y = \frac{1}{2} x^2 \] La longitud de una curva \( y = f(x) \) desde \( x = a \) hasta \( x = b \) se calcula con la siguiente fórmula: \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] Primero, encontramos la derivada \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} x^2 \right) = x \] Ahora, sustituimos \( \frac{dy}{dx} \) en la fórmula de la longitud: \[ L = \int_1^e \sqrt{1 + (x)^2} \, dx \] Simplificamos la expresión dentro de la raíz: \[ L = \int_1^e \sqrt{1 + x^2} \, dx \] Para resolver esta integral, utilizamos la fórmula de la integral de \( \sqrt{1 + x^2} \): \[ \int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} \left( x \sqrt{1 + x^2} + \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) \right) + C \] Ahora evaluamos la integral definida desde \( x = 1 \) hasta \( x = e \): \[ L = \left[ \frac{1}{2} \left( x \sqrt{1 + x^2} + \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) \right) \right]_1^e \] Calculamos primero en \( x = e \): \[ L(e) = \frac{1}{2} \left( e \sqrt{1 + e^2} + \ln \left( e + \sqrt{1 + e^2} \right) \right) \] Ahora calculamos en \( x = 1 \): \[ L(1) = \frac{1}{2} \left( 1 \sqrt{1 + 1^2} + \ln \left( 1 + \sqrt{1 + 1^2} \right) \right) = \frac{1}{2} \left( 1 \sqrt{2} + \ln \left( 1 + \sqrt{2} \right) \right) \] Ahora restamos \( L(1) \) de \( L(e) \): \[ L = \frac{1}{2} \left( e \sqrt{1 + e^2} + \ln \left( e + \sqrt{1 + e^2} \right) - \left( \sqrt{2} + \ln \left( 1 + \sqrt{2} \right) \right) \right) \] Finalmente, la longitud de la curva desde \( x = 1 \) hasta \( x = e \) es: \[ L = \frac{1}{2} \left( e \sqrt{1 + e^2} + \ln \left( e + \sqrt{1 + e^2} \right) - \sqrt{2} - \ln \left( 1 + \sqrt{2} \right) \right) \] Este es el resultado final para la longitud de la curva.