- Cr considers la ponction defince rour ir par \( f(x)=\frac{5 x}{x^{2}+4} \) 1). Ludier les variatiags dresser la 2). In deá de variation de f.

Pour étudier les variations de la fonction \( f(x) = \frac{5x}{x^2 + 4} \), nous allons suivre les étapes suivantes : ### 1. Calculer la dérivée de \( f(x) \) Pour déterminer les variations de la fonction, nous devons d'abord calculer sa dérivée \( f'(x) \). Nous utiliserons la règle du quotient : \[ f'(x) = \frac{(u'v - uv')}{v^2} \] où \( u = 5x \) et \( v = x^2 + 4 \). Calculons \( u' \) et \( v' \) : - \( u' = 5 \) - \( v' = 2x \) Maintenant, appliquons la règle du quotient : \[ f'(x) = \frac{(5)(x^2 + 4) - (5x)(2x)}{(x^2 + 4)^2} \] Simplifions le numérateur : \[ f'(x) = \frac{5x^2 + 20 - 10x^2}{(x^2 + 4)^2} = \frac{-5x^2 + 20}{(x^2 + 4)^2} \] ### 2. Étudier le signe de \( f'(x) \) Pour déterminer les variations de \( f(x) \), nous devons étudier le signe de \( f'(x) \). Le numérateur est \( -5x^2 + 20 \). Pour trouver les points critiques, nous résolvons : \[ -5x^2 + 20 = 0 \] Cela donne : \[ 5x^2 = 20 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \] Nous avons donc deux points critiques : \( x = -2 \) et \( x = 2 \). ### 3. Étudier le signe de \( f'(x) \) sur les intervalles Nous allons examiner le signe de \( f'(x) \) sur les intervalles déterminés par les points critiques : - Intervalle \( (-\infty, -2) \) - Intervalle \( (-2, 2) \) - Intervalle \( (2, +\infty) \) 1. **Pour \( x < -2 \)** (par exemple, \( x = -3 \)) : \[ f'(-3) = \frac{-5(-3)^2 + 20}{((-3)^2 + 4)^2} = \frac{-5(9) + 20}{(9 + 4)^2} = \frac{-45 + 20}{169} < 0 \] Donc, \( f'(x) < 0 \) sur \( (-\infty, -2) \). 2. **Pour \( -2 < x < 2 \)** (par exemple, \( x = 0 \)) : \[ f'(0) = \frac{-5(0)^2 + 20}{(0^2 + 4)^2} = \frac{20}{16} > 0 \] Donc, \( f'(x) > 0 \) sur \( (-2, 2) \). 3. **Pour \( x > 2 \)** (par exemple, \( x = 3 \)) : \[ f'(3) = \frac{-5(3)^2 + 20}{(3^2 + 4)^2} = \frac{-45 + 20}{169} < 0 \] Donc, \( f'(x) < 0 \) sur \( (2, +\infty) \). ### 4. Conclusion sur les variations de \( f(x) \) - \( f(x) \) est décroissante sur \( (-\infty, -2) \). - \( f(x) \) est croissante sur \( (-2, 2) \). - \( f(x) \) est décroissante sur \( (2, +\infty) \). ### 5. Tableau de variations Voici le tableau de variations de \( f(x) \) : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & -2 & 2 & +\infty \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \searrow & \text{max} & \nearrow & \text