Grafique las siguientes ecuaciones polares \( r^{2} \cos \theta \sin \theta=4 \)

Para graficar la ecuación polar \( r^{2} \cos \theta \sin \theta = 4 \), primero podemos reescribirla en una forma más manejable. La ecuación se puede simplificar utilizando la identidad \( \sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta \): \[ r^{2} \cos \theta \sin \theta = 4 \implies \frac{1}{2} r^{2} \sin(2\theta) = 4 \implies r^{2} \sin(2\theta) = 8 \] Ahora, despejamos \( r^{2} \): \[ r^{2} = \frac{8}{\sin(2\theta)} \] Por lo tanto, \( r \) se puede expresar como: \[ r = \sqrt{\frac{8}{\sin(2\theta)}} \] Para graficar esta ecuación, podemos considerar diferentes valores de \( \theta \) y calcular \( r \). Sin embargo, es importante notar que \( \sin(2\theta) \) debe ser positivo para que \( r \) sea real y positivo. Esto ocurre en los intervalos donde \( 2\theta \) está en \( (0, \pi) \) y \( (2\pi, 3\pi) \), lo que corresponde a \( \theta \) en \( (0, \frac{\pi}{2}) \) y \( (\pi, \frac{3\pi}{2}) \). ### Pasos para graficar: 1. **Calcular valores de \( r \)** para diferentes valores de \( \theta \) en los intervalos mencionados. 2. **Graficar** los puntos en coordenadas polares. ### Ejemplo de valores: - Para \( \theta = \frac{\pi}{4} \): \[ r = \sqrt{\frac{8}{\sin(\frac{\pi}{2})}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] - Para \( \theta = \frac{\pi}{3} \): \[ r = \sqrt{\frac{8}{\sin(\frac{2\pi}{3})}} = \sqrt{\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}}} = \sqrt{\frac{16}{\sqrt{3}}} = \frac{4}{\sqrt[4]{3}} \] - Para \( \theta = \frac{\pi}{6} \): \[ r = \sqrt{\frac{8}{\sin(\frac{\pi}{3})}} = \sqrt{\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}}} = \sqrt{\frac{16}{\sqrt{3}}} = \frac{4}{\sqrt[4]{3}} \] ### Graficar: Puedes usar software de graficación como Desmos, GeoGebra o cualquier otro programa que soporte coordenadas polares para visualizar la gráfica. Simplemente ingresa la ecuación \( r = \sqrt{\frac{8}{\sin(2\theta)}} \) y ajusta el rango de \( \theta \) para ver la figura completa. La gráfica resultante será simétrica y tendrá un aspecto de "lóbulo" debido a la naturaleza de la función \( \sin(2\theta) \).