Se dispone de un pentágono regular con apotema \( a=8.7 \), inscrito en una circunferencia de radio \( r=a+0.75 \mathrm{~cm} \). Sobre uno de sus lados se construye un triángulo equilatero, como se ve en la figura. ¿Cuál es la altura \( h \) de ese tríangulo equilaterop Justifique su respuesta en su evidencia.

Para resolver el problema, primero necesitamos entender la relación entre el pentágono regular, su apotema y el triángulo equilátero construido sobre uno de sus lados. 1. **Cálculo del lado del pentágono**: El apotema \( a \) de un pentágono regular está relacionado con el lado \( L \) del pentágono mediante la siguiente fórmula: \[ a = \frac{L}{2 \tan\left(\frac{\pi}{5}\right)} \] Despejando \( L \): \[ L = 2a \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) \] Sustituyendo \( a = 8.7 \): \[ L = 2 \cdot 8.7 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) \] Calculamos \( \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) \): \[ \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) \approx 0.7265 \] Entonces: \[ L \approx 2 \cdot 8.7 \cdot 0.7265 \approx 12.65 \text{ cm} \] 2. **Construcción del triángulo equilátero**: El triángulo equilátero se construye sobre uno de los lados del pentágono, por lo que el lado del triángulo equilátero también será \( L \). 3. **Cálculo de la altura del triángulo equilátero**: La altura \( h \) de un triángulo equilátero de lado \( L \) se puede calcular con la fórmula: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} L \] Sustituyendo \( L \): \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12.65 \] Calculamos \( h \): \[ h \approx \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12.65 \approx 0.866 \cdot 12.65 \approx 10.95 \text{ cm} \] Por lo tanto, la altura \( h \) del triángulo equilátero construido sobre uno de los lados del pentágono regular es aproximadamente \( 10.95 \) cm.