Responde dos preguntas sobre la siguiente expresión racional. \( \frac{x^{2}-14 x+49}{6 x^{2}-42 x} \) 1. ¿Cuál es una expresión equivalente en su nínima expresión? 2. ¿Qué valores de \( x \) debemos excluir de los dominios de las expresiones?

Para la expresión racional \( \frac{x^{2}-14 x+49}{6 x^{2}-42 x} \), vamos a responder las dos preguntas. 1. **Expresión equivalente en su mínima expresión:** Primero, factorizamos el numerador y el denominador. - El numerador \( x^{2} - 14x + 49 \) es un trinomio cuadrado perfecto, que se puede factorizar como: \[ x^{2} - 14x + 49 = (x - 7)^{2} \] - El denominador \( 6x^{2} - 42x \) se puede factorizar sacando el factor común: \[ 6x^{2} - 42x = 6x(x - 7) \] Ahora, reescribimos la expresión original con estas factorizaciones: \[ \frac{(x - 7)^{2}}{6x(x - 7)} \] Podemos simplificar la expresión cancelando un factor de \( (x - 7) \) en el numerador y el denominador (siempre que \( x \neq 7 \)): \[ \frac{x - 7}{6x} \quad \text{(para } x \neq 7\text{)} \] Por lo tanto, la expresión equivalente en su mínima expresión es: \[ \frac{x - 7}{6x} \] 2. **Valores de \( x \) que debemos excluir del dominio:** Para determinar los valores que debemos excluir, debemos encontrar los valores que hacen que el denominador sea cero. El denominador original es \( 6x^{2} - 42x \). Para encontrar los valores que hacen que esto sea cero, factorizamos: \[ 6x(x - 7) = 0 \] Esto nos da dos soluciones: \[ 6x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \] \[ x - 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 7 \] Por lo tanto, los valores que debemos excluir del dominio de la expresión son: \[ x = 0 \quad \text{y} \quad x = 7 \] En resumen: 1. La expresión equivalente en su mínima expresión es \( \frac{x - 7}{6x} \). 2. Los valores que debemos excluir del dominio son \( x = 0 \) y \( x = 7 \).