3) Use la forma polar de los números complejos dados para hacer las operaciones que se piden: (Use el Teoreru de Mo:vre) a) Para \( z=3-0.5 i \) y \( w=4-7 i \) calcule \( z w \). b) Para \( z=-64 i \) y \( w=-2-2 i \) calcule \( z w \). c) Para \( z=-3-2 i \) y \( w=4+7 i \) calcule \( z w \). d) Para \( z=4-4 i \) y \( w=6-2 i \) calcule \( z w \).

Para resolver las operaciones con números complejos utilizando la forma polar y el Teorema de Moivre, primero convertiremos cada número complejo a su forma polar. La forma polar de un número complejo \( z = a + bi \) se expresa como: \[ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \] donde \( r = \sqrt{a^2 + b^2} \) es el módulo y \( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \) es el argumento. ### a) Para \( z = 3 - 0.5i \) y \( w = 4 - 7i \) 1. **Calcular \( z \)**: - \( a = 3 \), \( b = -0.5 \) - \( r_z = \sqrt{3^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{9 + 0.25} = \sqrt{9.25} \approx 3.041 \) - \( \theta_z = \tan^{-1}\left(\frac{-0.5}{3}\right) \approx -0.165 \) radianes Entonces, \( z \) en forma polar es: \[ z = 3.041 \left( \cos(-0.165) + i \sin(-0.165) \right) \] 2. **Calcular \( w \)**: - \( a = 4 \), \( b = -7 \) - \( r_w = \sqrt{4^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \approx 8.062 \) - \( \theta_w = \tan^{-1}\left(\frac{-7}{4}\right) \approx -0.604 \) radianes Entonces, \( w \) en forma polar es: \[ w = 8.062 \left( \cos(-0.604) + i \sin(-0.604) \right) \] 3. **Multiplicación**: \[ zw = r_z r_w \left( \cos(\theta_z + \theta_w) + i \sin(\theta_z + \theta_w) \right) \] \[ r_z r_w \approx 3.041 \times 8.062 \approx 24.5 \] \[ \theta_z + \theta_w \approx -0.165 - 0.604 \approx -0.769 \text{ radianes} \] Entonces: \[ zw \approx 24.5 \left( \cos(-0.769) + i \sin(-0.769) \right) \] ### b) Para \( z = -64i \) y \( w = -2 - 2i \) 1. **Calcular \( z \)**: - \( a = 0 \), \( b = -64 \) - \( r_z = \sqrt{0^2 + (-64)^2} = 64 \) - \( \theta_z = \frac{3\pi}{2} \) (punto negativo en el eje imaginario) Entonces, \( z \) en forma polar es: \[ z = 64 \left( \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \right) \] 2. **Calcular \( w \)**: - \( a = -2 \), \( b = -2 \) - \( r_w = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) - \( \theta_w = \tan^{-1}\left(\frac{-2}{-2}\right) = \frac{5\pi}{4} \) Entonces, \( w \) en forma polar es: \[ w = 2\sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) \right) \] 3. **Multiplicación**: \[ zw = 64 \cdot 2\sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{5\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{2}