tallar la longitud de la curva \( y=\sin ^{-1}\left(e^{-x}\right) \) desde \( x=0 \) nasta \( x=1 \)

Para calcular la longitud de la curva \( y = \sin^{-1}(e^{-x}) \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = 1 \), utilizamos la fórmula de la longitud de arco: \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] donde \( \frac{dy}{dx} \) es la derivada de \( y \) con respecto a \( x \). Primero, encontramos la derivada \( \frac{dy}{dx} \): \[ y = \sin^{-1}(e^{-x}) \] Usamos la regla de la cadena para derivar: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (e^{-x})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x}) = \frac{1}{\sqrt{1 - e^{-2x}}} \cdot (-e^{-x}) = -\frac{e^{-x}}{\sqrt{1 - e^{-2x}}} \] Ahora, calculamos \( \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \): \[ \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \left(-\frac{e^{-x}}{\sqrt{1 - e^{-2x}}}\right)^2 = \frac{e^{-2x}}{1 - e^{-2x}} \] Ahora, sustituimos esto en la fórmula de la longitud de arco: \[ L = \int_0^1 \sqrt{1 + \frac{e^{-2x}}{1 - e^{-2x}}} \, dx \] Simplificamos la expresión dentro de la raíz: \[ 1 + \frac{e^{-2x}}{1 - e^{-2x}} = \frac{(1 - e^{-2x}) + e^{-2x}}{1 - e^{-2x}} = \frac{1}{1 - e^{-2x}} \] Por lo tanto, la integral se convierte en: \[ L = \int_0^1 \sqrt{\frac{1}{1 - e^{-2x}}} \, dx = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 - e^{-2x}}} \, dx \] Para resolver esta integral, podemos hacer un cambio de variable. Sea \( u = e^{-x} \), entonces \( du = -e^{-x} \, dx \) o \( dx = -\frac{du}{u} \). Cuando \( x = 0 \), \( u = 1 \) y cuando \( x = 1 \), \( u = e^{-1} \). Sustituyendo en la integral: \[ L = \int_1^{e^{-1}} \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \left(-\frac{du}{u}\right) = \int_{e^{-1}}^1 \frac{1}{u \sqrt{1 - u^2}} \, du \] Esta integral se puede resolver utilizando la función arco seno: \[ \int \frac{1}{u \sqrt{1 - u^2}} \, du = \arcsin(u) + C \] Por lo tanto, evaluamos: \[ L = \left[ \arcsin(u) \right]_{e^{-1}}^1 = \arcsin(1) - \arcsin(e^{-1}) = \frac{\pi}{2} - \arcsin(e^{-1}) \] Finalmente, la longitud de la curva desde \( x = 0 \) hasta \( x = 1 \) es: \[ L = \frac{\pi}{2} - \arcsin(e^{-1}) \]