Titik-titik \( R(a, 0), S(-2,5), T(b, c) \) dan \( U(4,-7) \) adalah bucu-bucu bagi suatu rombus. Tentuk nilai a,b dan \( c \)

Untuk menentukan nilai \( a \), \( b \), dan \( c \) dari titik-titik \( R(a, 0) \), \( S(-2, 5) \), \( T(b, c) \), dan \( U(4, -7) \) yang merupakan bucu-bucu rombus, kita perlu menggunakan sifat-sifat rombus. Salah satu sifat rombus adalah bahwa diagonal-diagonalnya saling membagi satu sama lain dan saling tegak lurus. Mari kita tentukan titik tengah dari diagonal \( RU \) dan \( ST \). 1. **Titik Tengah Diagonal \( RU \)**: \[ M_{RU} = \left( \frac{a + 4}{2}, \frac{0 - 7}{2} \right) = \left( \frac{a + 4}{2}, -\frac{7}{2} \right) \] 2. **Titik Tengah Diagonal \( ST \)**: \[ M_{ST} = \left( \frac{-2 + b}{2}, \frac{5 + c}{2} \right) \] Karena \( M_{RU} \) dan \( M_{ST} \) adalah titik tengah yang sama, maka kita dapat menyamakan kedua titik tengah tersebut: \[ \frac{a + 4}{2} = \frac{-2 + b}{2} \quad \text{(1)} \] \[ -\frac{7}{2} = \frac{5 + c}{2} \quad \text{(2)} \] Mari kita selesaikan persamaan (2) terlebih dahulu: \[ -\frac{7}{2} = \frac{5 + c}{2} \] Kalikan kedua sisi dengan 2: \[ -7 = 5 + c \] \[ c = -7 - 5 = -12 \] Sekarang kita substitusi nilai \( c \) ke dalam persamaan (1): \[ \frac{a + 4}{2} = \frac{-2 + b}{2} \] Kalikan kedua sisi dengan 2: \[ a + 4 = -2 + b \] \[ b = a + 6 \quad \text{(3)} \] Selanjutnya, kita perlu menggunakan sifat bahwa diagonal-diagonal rombus saling tegak lurus. Kita dapat menghitung kemiringan dari garis \( RU \) dan \( ST \). 3. **Kemiringan Garis \( RU \)**: \[ \text{Kemiringan } RU = \frac{-7 - 0}{4 - a} = \frac{-7}{4 - a} \] 4. **Kemiringan Garis \( ST \)**: \[ \text{Kemiringan } ST = \frac{c - 5}{b + 2} = \frac{-12 - 5}{b + 2} = \frac{-17}{b + 2} \] Karena garis-garis tersebut saling tegak lurus, maka hasil kali kemiringan mereka harus sama dengan -1: \[ \frac{-7}{4 - a} \cdot \frac{-17}{b + 2} = -1 \] \[ \frac{119}{(4 - a)(b + 2)} = -1 \] \[ 119 = -(4 - a)(b + 2) \] Substitusi \( b \) dari persamaan (3): \[ 119 = -(4 - a)(a + 6 + 2) \] \[ 119 = -(4 - a)(a + 8) \] \[ 119 = -(4a + 32 - a^2 - 8a) \] \[ 119 = a^2 + 4a + 32 \] \[ 0 = a^2 + 4a - 87 \] Sekarang kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan persamaan ini: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-87)}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 348}}{2} \] \[ = \frac{-4 \pm \sqrt{364}}{2} \] \[ = \frac{-4 \pm 2\sqrt{91}}{2} \] \[ = -2 \pm \sqrt{91} \] Jadi, kita mendapatkan dua kemungkinan