\( \lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 1,0 ) } \frac { x - x \cdot \cos ( y ) } { x \cdot y } \)

La expresión dada es una función de dos variables, por lo que no se puede calcular directamente. Sin embargo, podemos simplificarla y luego calcular el límite. Dada la expresión \( \frac { x - x \cdot \cos ( y ) } { x \cdot y } \), podemos simplificarla como sigue: \[ \frac { x - x \cdot \cos ( y ) } { x \cdot y } = \frac { x(1 - \cos ( y )) } { x \cdot y } = \frac { 1 - \cos ( y ) } { y } \] Ahora, podemos calcular el límite de la expresión simplificada \( \frac { 1 - \cos ( y ) } { y } \) cuando \( (x, y) \) se acerca a \( (1, 0) \). Vamos a calcularlo. Evaluate the limit by following steps: - step0: Evaluate using L'Hopital's rule: \(\lim _{y\rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos\left(y\right)}{y}\right)\) - step1: Use the L'Hopital's rule: \(\lim _{y\rightarrow 0}\left(\frac{\frac{d}{dy}\left(1-\cos\left(y\right)\right)}{\frac{d}{dy}\left(y\right)}\right)\) - step2: Find the derivative: \(\lim _{y\rightarrow 0}\left(\frac{\sin\left(y\right)}{1}\right)\) - step3: Simplify the expression: \(\lim _{y\rightarrow 0}\left(\sin\left(y\right)\right)\) - step4: Rewrite the expression: \(\sin\left(\lim _{y\rightarrow 0}\left(y\right)\right)\) - step5: Calculate: \(\sin\left(0\right)\) - step6: Calculate the trigonometric value: \(0\) El límite de la expresión \( \frac { 1 - \cos ( y ) } { y } \) cuando \( y \) se acerca a 0 es 0. Por lo tanto, el límite de la expresión original \( \frac { x - x \cdot \cos ( y ) } { x \cdot y } \) cuando \( (x, y) \) se acerca a \( (1, 0) \) es también 0.