9) \( \frac{5 x}{2 x+4}-\frac{x-4}{x^{2}+4 x+4}=\frac{2}{x+2} \)

Para resolver la ecuación \[ \frac{5x}{2x+4} - \frac{x-4}{x^2 + 4x + 4} = \frac{2}{x+2}, \] primero simplificamos los términos. Observamos que \(x^2 + 4x + 4\) se puede factorizar como \((x+2)^2\). Entonces, reescribimos la ecuación: \[ \frac{5x}{2(x+2)} - \frac{x-4}{(x+2)^2} = \frac{2}{x+2}. \] Multiplicamos toda la ecuación por \((x+2)^2\) para eliminar los denominadores: \[ 5x(x+2) - (x-4) = 2(x+2). \] Ahora expandimos cada término: \[ 5x^2 + 10x - (x - 4) = 2x + 4. \] Simplificamos el lado izquierdo: \[ 5x^2 + 10x - x + 4 = 2x + 4, \] lo que se convierte en: \[ 5x^2 + 9x + 4 = 2x + 4. \] Restamos \(2x + 4\) de ambos lados: \[ 5x^2 + 9x + 4 - 2x - 4 = 0, \] lo que simplifica a: \[ 5x^2 + 7x = 0. \] Factorizamos la ecuación: \[ x(5x + 7) = 0. \] Esto nos da dos soluciones: 1. \(x = 0\) 2. \(5x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{5}\) Ahora, verificamos si estas soluciones son válidas en la ecuación original. Para \(x = 0\): \[ \frac{5(0)}{2(0)+4} - \frac{0-4}{0^2 + 4(0) + 4} = \frac{2}{0+2}, \] \[ 0 - \frac{-4}{4} = 1 \Rightarrow 0 + 1 = 1. \] Esto es cierto. Para \(x = -\frac{7}{5}\): Calculamos los denominadores: \[ 2\left(-\frac{7}{5}\right) + 4 = -\frac{14}{5} + \frac{20}{5} = \frac{6}{5}, \] \[ \left(-\frac{7}{5}\right)^2 + 4\left(-\frac{7}{5}\right) + 4 = \frac{49}{25} - \frac{28}{5} + 4 = \frac{49}{25} - \frac{140}{25} + \frac{100}{25} = \frac{9}{25} \neq 0. \] Ambos denominadores son diferentes de cero, por lo que ambas soluciones son válidas. Las soluciones son: \[ x = 0 \quad \text{y} \quad x = -\frac{7}{5}. \]