EJERCICIO 82 1. La suma de dos Aúmeros es 106 y el mayor excede al menor en 8 . Hallar los números. 2. La suma de dos números es 540 y su diferencia 32 . Hallar los numeros 3. Entre \( A \) y \( B \) tienen 1154 bolirares y \( B \) tiene 506 menos que \( A \). Cuanto tiene cada uno? 4. Dividir 106 en dos partes tales la mayor exceda a la menor en 24 . 5. A tiene 14 ailos menos que \( B \) y ambas edades suman 56 años. Qué edad tiene cada uno? 6. Repartir 1080 nuevos soles entre \( A \) y \( B \) de modo que \( A \) reciba 1014 más que \( B \).

Vamos a resolver cada uno de los ejercicios planteados: ### Ejercicio 1 La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Sea \( x \) el menor y \( y \) el mayor. Entonces tenemos: 1. \( x + y = 106 \) 2. \( y = x + 8 \) Sustituyendo la segunda ecuación en la primera: \[ x + (x + 8) = 106 \] \[ 2x + 8 = 106 \] \[ 2x = 98 \] \[ x = 49 \] Ahora, sustituyendo \( x \) en la segunda ecuación: \[ y = 49 + 8 = 57 \] **Los números son 49 y 57.** ### Ejercicio 2 La suma de dos números es 540 y su diferencia es 32. Sea \( x \) el mayor y \( y \) el menor. Entonces tenemos: 1. \( x + y = 540 \) 2. \( x - y = 32 \) Sumando ambas ecuaciones: \[ (x + y) + (x - y) = 540 + 32 \] \[ 2x = 572 \] \[ x = 286 \] Sustituyendo \( x \) en la primera ecuación: \[ 286 + y = 540 \] \[ y = 540 - 286 = 254 \] **Los números son 286 y 254.** ### Ejercicio 3 Entre \( A \) y \( B \) tienen 1154 bolívares y \( B \) tiene 506 menos que \( A \). Sea \( A \) la cantidad que tiene \( A \) y \( B \) la cantidad que tiene \( B \). Entonces tenemos: 1. \( A + B = 1154 \) 2. \( B = A - 506 \) Sustituyendo la segunda ecuación en la primera: \[ A + (A - 506) = 1154 \] \[ 2A - 506 = 1154 \] \[ 2A = 1660 \] \[ A = 830 \] Sustituyendo \( A \) en la segunda ecuación: \[ B = 830 - 506 = 324 \] **\( A \) tiene 830 bolívares y \( B \) tiene 324 bolívares.** ### Ejercicio 4 Dividir 106 en dos partes tales que la mayor exceda a la menor en 24. Sea \( x \) la menor y \( y \) la mayor. Entonces tenemos: 1. \( x + y = 106 \) 2. \( y = x + 24 \) Sustituyendo la segunda ecuación en la primera: \[ x + (x + 24) = 106 \] \[ 2x + 24 = 106 \] \[ 2x = 82 \] \[ x = 41 \] Sustituyendo \( x \) en la segunda ecuación: \[ y = 41 + 24 = 65 \] **Las dos partes son 41 y 65.** ### Ejercicio 5 A tiene 14 años menos que \( B \) y ambas edades suman 56 años. Sea \( A \) la edad de A y \( B \) la edad de B. Entonces tenemos: 1. \( A + B = 56 \) 2. \( A = B - 14 \) Sustituyendo la segunda ecuación en la primera: \[ (B - 14) + B = 56 \] \[ 2B - 14 = 56 \] \[ 2B = 70 \] \[ B = 35 \] Sustituyendo \( B \) en la segunda ecuación: \[ A = 35 - 14 = 21 \] **A tiene 21 años y B tiene 35 años.** ### Ejercicio 6 Repartir 1080 nuevos soles entre \( A \) y \( B \) de modo que \( A \) reciba 1014 más que \( B \). Sea \( A \) la cantidad que recibe \( A \) y \( B \) la cantidad que recibe \( B \). Entonces tenemos: 1. \( A + B = 1080 \) 2. \( A = B + 1014 \) Sustituyendo la segunda ecuación en la primera: \[ (B + 1014) + B = 1080