Derivar: \( f(x)=x^{2 x^{4}}+\frac{4^{x}}{x^{2}} \)

Para derivar la función \( f(x) = x^{2 x^{4}} + \frac{4^{x}}{x^{2}} \), utilizaremos la regla de la cadena, la regla del producto y la regla del cociente. 1. **Derivada de \( x^{2 x^{4}} \)**: Usamos la propiedad de la derivada de una función de la forma \( a^{g(x)} \): \[ \frac{d}{dx} a^{g(x)} = a^{g(x)} \cdot g'(x) \cdot \ln(a) \] En este caso, \( a = x \) y \( g(x) = 2x^{4} \). Primero, derivamos \( g(x) \): \[ g'(x) = 2 \cdot 4x^{3} = 8x^{3} \] Entonces, la derivada de \( x^{2 x^{4}} \) es: \[ \frac{d}{dx}(x^{2 x^{4}}) = x^{2 x^{4}} \cdot 8x^{3} \cdot \ln(x) \] 2. **Derivada de \( \frac{4^{x}}{x^{2}} \)**: Usamos la regla del cociente: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^{2}} \] donde \( u = 4^{x} \) y \( v = x^{2} \). Primero, derivamos \( u \) y \( v \): - Para \( u = 4^{x} \): \[ u' = 4^{x} \ln(4) \] - Para \( v = x^{2} \): \[ v' = 2x \] Ahora aplicamos la regla del cociente: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{4^{x}}{x^{2}}\right) = \frac{(4^{x} \ln(4)) x^{2} - 4^{x} (2x)}{(x^{2})^{2}} = \frac{4^{x} (x^{2} \ln(4) - 2x)}{x^{4}} \] 3. **Sumamos las derivadas**: Finalmente, la derivada de \( f(x) \) es: \[ f'(x) = x^{2 x^{4}} \cdot 8x^{3} \ln(x) + \frac{4^{x} (x^{2} \ln(4) - 2x)}{x^{4}} \] Por lo tanto, la derivada de la función \( f(x) \) es: \[ f'(x) = x^{2 x^{4}} \cdot 8x^{3} \ln(x) + \frac{4^{x} (x^{2} \ln(4) - 2x)}{x^{4}} \]