10) \( 12 x^{3}+18 x^{2}+10 x+15= \)

Para factorizar la expresión \( 12x^{3} + 18x^{2} + 10x + 15 \), primero podemos buscar un factor común en todos los términos. Observamos que el número 3 es un factor común: \[ 12x^{3} + 18x^{2} + 10x + 15 = 3(4x^{3} + 6x^{2} + \frac{10}{3}x + 5) \] Ahora, intentamos factorizar el polinomio \( 4x^{3} + 6x^{2} + \frac{10}{3}x + 5 \). Para simplificar el proceso, podemos intentar agrupar los términos: \[ 4x^{3} + 6x^{2} + \frac{10}{3}x + 5 = (4x^{3} + 6x^{2}) + \left(\frac{10}{3}x + 5\right) \] Factorizamos cada grupo: 1. En el primer grupo \( 4x^{3} + 6x^{2} \), podemos factorizar \( 2x^{2} \): \[ 2x^{2}(2x + 3) \] 2. En el segundo grupo \( \frac{10}{3}x + 5 \), podemos factorizar \( \frac{5}{3} \): \[ \frac{5}{3}(2x + 3) \] Ahora, juntamos los dos grupos: \[ 2x^{2}(2x + 3) + \frac{5}{3}(2x + 3) \] Observamos que \( (2x + 3) \) es un factor común: \[ (2x + 3)\left(2x^{2} + \frac{5}{3}\right) \] Finalmente, la expresión completa factorizada es: \[ 3(2x + 3)\left(2x^{2} + \frac{5}{3}\right) \] Si deseas, podemos dejar la expresión en su forma original o simplificarla aún más. Sin embargo, esta es una factorización válida.