b. Calculen la distancia del punto \( p=(-1,2) \) a la recta \( f \) que pasa por los puntos \( (2 ; 2) \) y \( (1 ;-2) \)

Para calcular la distancia del punto \( p=(-1,2) \) a la recta \( f \) que pasa por los puntos \( (2, 2) \) y \( (1, -2) \), primero necesitamos encontrar la ecuación de la recta. 1. **Encontrar la pendiente de la recta**: La pendiente \( m \) se calcula como: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 2}{1 - 2} = \frac{-4}{-1} = 4 \] 2. **Usar la forma punto-pendiente para la ecuación de la recta**: Usamos el punto \( (2, 2) \) y la pendiente \( m = 4 \): \[ y - y_1 = m(x - x_1) \implies y - 2 = 4(x - 2) \] Simplificando: \[ y - 2 = 4x - 8 \implies y = 4x - 6 \] 3. **Reescribir la ecuación en la forma estándar**: La ecuación de la recta es: \[ 4x - y - 6 = 0 \] 4. **Calcular la distancia del punto \( p=(-1,2) \) a la recta**: La fórmula para la distancia \( d \) de un punto \( (x_0, y_0) \) a la recta \( Ax + By + C = 0 \) es: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] En nuestro caso, \( A = 4 \), \( B = -1 \), \( C = -6 \), y el punto \( p=(-1, 2) \) tiene \( x_0 = -1 \) y \( y_0 = 2 \). Sustituyendo en la fórmula: \[ d = \frac{|4(-1) + (-1)(2) - 6|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{|-4 - 2 - 6|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{|-12|}{\sqrt{17}} = \frac{12}{\sqrt{17}} \] 5. **Resultado final**: La distancia del punto \( p=(-1,2) \) a la recta \( f \) es: \[ d = \frac{12}{\sqrt{17}} \]