Ejercicios 1. Realiza la gráfica de la función tangente, cotangente, secante y cosecante en el intervalo \( [3 \pi,-3 \pi] \). Realiza la gráfica la función \( y=\tan (2 x) \). ¿Cuál es el periodo de esta función? 3. Indica sı cada afirmación es verdadera \( (\mathrm{V}) \) o falsa (F). LI petiodo de la función \( y=\cot (2 x-2 \pi) \) es \( \frac{\pi}{2} \). Il destase de la función \( y=\cot (2 x-2 \pi) \) es \( \pi \) unidades a la derecha. 4. Escribe la ecuación de la forma \( y=A \sec (\omega x-\emptyset)+B \), que cumpla con las siguientes condiciones: 4eriodo \( \pi \) y desfase: \( \frac{\pi}{2} \).

### Ejercicio 1 Para graficar las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante en el intervalo \( [-3\pi, 3\pi] \), primero recordemos las características de cada función: 1. **Tangente**: \( y = \tan(x) \) tiene un periodo de \( \pi \) y presenta asíntotas verticales en \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) para \( k \in \mathbb{Z} \). 2. **Cotangente**: \( y = \cot(x) \) también tiene un periodo de \( \pi \) y presenta asíntotas verticales en \( x = k\pi \) para \( k \in \mathbb{Z} \). 3. **Secante**: \( y = \sec(x) \) tiene un periodo de \( 2\pi \) y presenta asíntotas verticales en \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) para \( k \in \mathbb{Z} \). 4. **Cosecante**: \( y = \csc(x) \) también tiene un periodo de \( 2\pi \) y presenta asíntotas verticales en \( x = k\pi \) para \( k \in \mathbb{Z} \). Para la función \( y = \tan(2x) \): - El periodo de \( \tan(kx) \) es \( \frac{\pi}{k} \). Por lo tanto, el periodo de \( y = \tan(2x) \) es \( \frac{\pi}{2} \). ### Ejercicio 3 Ahora, evaluemos las afirmaciones: I. El periodo de la función \( y = \cot(2x - 2\pi) \) es \( \frac{\pi}{2} \). - **Verdadero (V)**: El periodo de \( \cot(kx) \) es \( \frac{\pi}{k} \). Aquí \( k = 2 \), así que el periodo es \( \frac{\pi}{2} \). II. El desfase de la función \( y = \cot(2x - 2\pi) \) es \( \pi \) unidades a la derecha. - **Falso (F)**: El desfase se calcula como \( \frac{2\pi}{2} = \pi \) unidades a la derecha, pero el desfase se refiere a la forma \( y = \cot(k(x - d)) \), donde \( d \) es el desfase. En este caso, el desfase es \( \frac{2\pi}{2} = \pi \) a la derecha, pero la afirmación no es precisa en su formulación. ### Ejercicio 4 Para escribir la ecuación de la forma \( y = A \sec(\omega x - \phi) + B \) con un periodo de \( \pi \) y un desfase de \( \frac{\pi}{2} \): 1. El periodo \( T \) de la función secante está relacionado con \( \omega \) por la fórmula \( T = \frac{2\pi}{\omega} \). Para que el periodo sea \( \pi \), tenemos: \[ \frac{2\pi}{\omega} = \pi \implies \omega = 2. \] 2. El desfase \( \phi \) se establece en la forma \( \omega x - \phi \). Dado que el desfase es \( \frac{\pi}{2} \), tenemos: \[ \phi = \frac{\pi}{2}. \] 3. La ecuación se puede escribir como: \[ y = A \sec(2x - \frac{\pi}{2}) + B. \] Donde \( A \) y \( B \) son constantes que puedes elegir según las condiciones específicas que desees (por ejemplo, amplitud y desplazamiento vertical).