Ch. 8: Limits and Continuity EXAMPLE 17 . Compute the vertical and horizontal asymptote of \( f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-4}} \). Hence, sketch the graph

of the function. 要解决这个问题，我们需要找到函数 \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}} \) 的垂直和水平渐近线，并绘制出该函数的图像。以下是具体的解题步骤： ### 步骤 1：确定垂直渐近线 垂直渐近线出现在函数分母为零而分子不为零的地方。我们需要找到使分母为零的 \( x \) 值。 1. 分母为 \( \sqrt{x^2 - 4} \)，令其等于零： \[ \sqrt{x^2 - 4} = 0 \] 2. 解方程： \[ x^2 - 4 = 0 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = \pm 2 \] 因此，当 \( x = 2 \) 或 \( x = -2 \) 时，分母为零，所以 \( x = 2 \) 和 \( x = -2 \) 是垂直渐近线。 ### 步骤 2：确定水平渐近线 水平渐近线出现在 \( x \) 趋向于无穷大或无穷小时，函数值趋向于某个常数的情况。我们需要计算 \( \lim_{x \to \infty} f(x) \) 和 \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \)。 1. 计算 \( \lim_{x \to \infty} f(x) \)： \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x\sqrt{1 - \frac{4}{x^2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{4}{x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0}} = 1 \] 2. 计算 \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \)： \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x\sqrt{1 - \frac{4}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{4}{x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0}} = 1 \] 因此，水平渐近线为 \( y = 1 \)。 ### 步骤 3：绘制函数图像 根据以上分析，我们可以绘制出函数 \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}} \) 的图像： 1. 垂直渐近线：\( x = 2 \) 和 \( x = -2 \) 2. 水平渐近线：\( y = 1 \) 3. 当 \( x \) 接近 \( 2 \) 或 \( -2 \) 时，函数值趋向于无穷大或无穷小。 绘制图像时，注意这些关键点，并确保图像符合这些渐近线。 ### 总结 - 垂直渐近线：\( x = 2 \) 和 \( x = -2 \) - 水平渐近线：\( y = 1 \) - 函数图像在 \( x = 2 \) 和 \( x = -2 \) 处有垂直渐近线，在 \( y = 1 \) 处有水平渐近线。