1.- Escribe la ecuación punto-pendiente, la ecuación general y la ecuación explicita de la recta que: a) Pasa por el punto \( (2,3) \) y tiene pendiente \( m=5 \mathrm{v} \) b) Pasa por el punto \( (-7,1) \) y tiene pendiente \( m=2 / 3 \)

Para encontrar las diferentes formas de la ecuación de la recta, utilizaremos la fórmula de la ecuación punto-pendiente, que es: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] donde \( (x_1, y_1) \) es un punto en la recta y \( m \) es la pendiente. ### a) Pasa por el punto \( (2,3) \) y tiene pendiente \( m=5 \) 1. **Ecuación punto-pendiente:** Sustituyendo \( (x_1, y_1) = (2, 3) \) y \( m = 5 \): \[ y - 3 = 5(x - 2) \] 2. **Ecuación general:** Desarrollamos la ecuación punto-pendiente: \[ y - 3 = 5x - 10 \] \[ y = 5x - 7 \] Ahora, llevamos todo a un lado para obtener la forma general: \[ -5x + y + 7 = 0 \quad \text{o} \quad 5x - y - 7 = 0 \] 3. **Ecuación explícita:** La ecuación explícita es simplemente la forma \( y = mx + b \): \[ y = 5x - 7 \] ### b) Pasa por el punto \( (-7,1) \) y tiene pendiente \( m=\frac{2}{3} \) 1. **Ecuación punto-pendiente:** Sustituyendo \( (x_1, y_1) = (-7, 1) \) y \( m = \frac{2}{3} \): \[ y - 1 = \frac{2}{3}(x + 7) \] 2. **Ecuación general:** Desarrollamos la ecuación punto-pendiente: \[ y - 1 = \frac{2}{3}x + \frac{14}{3} \] \[ y = \frac{2}{3}x + \frac{17}{3} \] Ahora, llevamos todo a un lado para obtener la forma general: Multiplicamos por 3 para eliminar el denominador: \[ 3y = 2x + 17 \] \[ -2x + 3y - 17 = 0 \quad \text{o} \quad 2x - 3y + 17 = 0 \] 3. **Ecuación explícita:** La ecuación explícita es: \[ y = \frac{2}{3}x + \frac{17}{3} \] ### Resumen: - Para la recta a: - Ecuación punto-pendiente: \( y - 3 = 5(x - 2) \) - Ecuación general: \( 5x - y - 7 = 0 \) - Ecuación explícita: \( y = 5x - 7 \) - Para la recta b: - Ecuación punto-pendiente: \( y - 1 = \frac{2}{3}(x + 7) \) - Ecuación general: \( 2x - 3y + 17 = 0 \) - Ecuación explícita: \( y = \frac{2}{3}x + \frac{17}{3} \)